5469091767

Wniosek 2.1

Jeżeli istnieje pochodna funkcji / w punkcie Zq, to:

... . du.    . ,dv.    .    .

/ (2°) = ^;(zo,yo) + *^(x°,y₀) = -^{x₀,yo) ~ *^-(^o,2/o)

du. . .du.    dv .    ,dv .

- Tx^(x°’^Vo) ~ 'Ty^'^ - Ty^’^ +

Wniosek 2.2

Pochodne cząstkowe funkcji / wyrażają się wzorami

df.    . du. . ,dv,    .

&(*-») =&(¹-'')+*&(*•»)

, du. , .du.

Stąd i z wniosku 2.1 otrzymamy następujące wzory na pochodną funkcji / w punkcie zq.

/'(z°) = |j(ao,!/o) = ^-i§“(^xo.Ko).

Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej)

Jeżeli funkcje u(x,y) i v(x, y) są rózniczkowalne w punkcie (xo,yo) i spełniają w tym punkcie warunki Cauchy’ego Riemanna, to funkcja f(z) = u(x,y) + iv(x,y) ma pochodną f(zo).

Dowód. Funkcje u i u są rózniczkowalne w punkcie (Xo,yo), więc

du    du

(1) Au(x₀, y₀) = u(x, y) - u(x₀, y₀) =    o, 2/o)Arr + ^-(zo,2/o)Ay + oi(|Az|),

gdzie |Az\ = \J(Ax)1 + (Ay)¹, d jest wielkością małego rzędu tzn. liniA₂->o    = 0.

Analogicznie

dv    dv

(2)    Au(x₀,y₀) = v(x,y) - v{x₀,y₀) = -^(x₀,y₀)Ax + — (x₀, yo)Ay + o₂(|Az|),

1

jest wielkością małego rzędu tzn. limA^o °¹^¹^ — 0.