27893

Ci miłość funkcji h' punkcie

Ciągłość funkcji z = f(x,y) w punkcie P₀(x_0ty₀)

Def. Funkcję z = f(x,y) nazywamy ciągłą w punkcie /o(**b*>b) jeżeli:

• • f(x,y) jes¹ określona w P₀(x₀, y₀)

2.    istnieje

*-**o

y-*.v*

3.    /(woMim/fo?)

*-**o

y-».v₀

Def. Funkcją z = /(at,v) nazywamy ciągłą w D. jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie tego obszaru.

Twierdzenia o funkcjach ciągłych,

Tw. o lokalnym zachowaniu znaku. Jeżeli funkcja z = f(x,y) określoną w pewnym otoczeniu (2(jr₀,£) jest ciągła w tym punkcie i jeżeli f{P_n)> 0 (/(^,)<0). to istnieje takie sąsiedztwo S(^,,<£),że    /\ /(P)>0 (f(P)<0)

P(*.y)eS

Tw. o ograniczoności. Jeżeli funkcja z = f(x,y) jest ciągła w zbiorze domkniętym i ograniczonym, to jest w nim ograniczona.

Tw. Weierstrassa (o osiąganiu kresów ) Jeżeli funkcja z - f(x,y) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym D . to istnieją punkty P_t,P₂e D , że

/(?[)= inf /(**?) ^oraz    sup f(*.y)

Tw. Darbou\ (o przyjmowaniu właściwości pośrednich) Jeżeli funkcja z = f(x,y) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym D oraz jeżeli.

inf f(^x*y)<M< sup f(x,y)

b.y\*D    U.y^D

To istnieje taki punkt C = (.^>, >*₀). że /(C) = //

Tw. Cantora (o ciągłości jednostajnej)

Jeżeli funkcja z = f(x,y) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym, to:

A V A A    (0<dp_lp₂<S)=>\f(P_l)-f(P₂]<€

oO («y)r>0 P,eD P.€(>

Pochodne cząstkowe

Zakładamy, że funkcja z = f(x,y) jest określona w pewnym otoczeniu Q(x₀,S) oraz. że Aa: * 0 i Ay * 0 są przyrostami zmiennych x i y w P₀ = (jr₀,y₀) takimi, że punkty P_x ={x₀+Ax,y₀)e Q i P₂=(x₀,y₀ + Ay)e Q Tworzymy ilorazy różnicowe:

/

Aa

_ f(x₀+Ax>y₀)-f(x₀.y₀) j _ f (.v₀,yo + Ay)-/(*<,,y₀)

Ay