skanuj0005

MATEMATYKA Lista 4

TEORIA:

Funkcja pierwotna:

Funkcją pierwotną funkcji rzeczywistej / określonej na zbiorze D_f a R, nazywamy dowolną funkcję F taką, że jej pochodną jest dana funkcja f (F(x) + cy=ljf(x)dx]’ = f(x)

Całką nieoznaczoną funkcji/nazywamy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych F(x)+C, co zapisujemy:

J/ (x)dx = F{x) + C

Podstawowe prawa całkowania:

-    Iloczyn funkcji przez stałą

ja ■ f(x)dx = a ■ jf{x)dx, aeR

-    Całka z sumy (różnicy) funkcji {[/O) ± gi.^x)]dx = jf(x)dx ± jg(x)dx

- Całkowanie przez podstawienie

J/[g(*)] ‘ ^dx =    , gdzie t = g(x) i dt = g'(x) dx

Przykład:

|cos3x dx

u - 3x du = 3 dx

dx = —du 3

= fcos u • — du — — fcos u du — — • sin u -h C = — sin 3x + C J a i J    o    o

- Całkowanie przez części

jf\^x) • g(x) dx = f(x) ■ g(x) - jf(x) ■ g\x) dx Przykład:

- J"(-cos;t) -1 dx =

= -xcosx

r .    /'(*) = sin x dx g(x) = x

\x sin x dx —

^J    /(x) = -cosx g\x)-\dx

— —x cos x + Jcosjc    =-xcos;c + sin;t +C