str010

I

■^^aibBfej^ei^YLuzipa^• Na. to, aby funkcja f skończona, określona na zbiorze .4 C Kⁿ mierzalnym w sensie Lebesgue’a była mierzalna w sensie Lebesgue’a, potrzeba i wystarcza, aby dla każdego z > 0 istniał zbiór domknięty F taki, że f\E jest ciągła i p(A - F) < £■

Definicja 30. Funkcję rzeczywistą / określoną na przestrzeni metrycznej X nazywamy funkcją pierwszej klasy Baire’a, jeśli / jest granicą punktowo zbieżnego ciągu funkcji {/_n}n£h określonych na X i ciągłych.

Definicja 31. Funkcję rzeczywistą / określoną na przestrzeni metrycznej X nazywamy funkcją drugiej klasy Baire’a, jeśli / jest granicą punktowo zbieżnego ciągu funkcji {/„ }„eB, gdzie f„ są funkcjami pierwszej klasy Baire’a określonymi na X.

Definicja 32. Niech (A',pi), (Y,pz) będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że funkcja f : X -* Y jest ciągła w punkcie zo £ X, jeśli dla dowolnego z > 0 istnieje i > 0 taka, że dla dowolnego x g X z nierówności pi(x,xo) < 6 wynika nierówność pe(f{x), f(io)) < £■ Funkcja / jest ciągła (na X), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie x e X.

ZADANIA

146.    Niech p’ będzie miarą zewnętrzną określoną w zadaniu 7. Jaką postać mają funkcje mierzalne w tym przypadku?

147.    Zbadać jaką postać mają funkcje mierzalne, jeżeli p^m jest miarą zewnętrzną z zadania 9, a X = R?

148.    Zbadać jaką postać mają funkcje mierzalne, jeżeli p' jest miarą zewnętrzną z zadania 10, a X = R?

149.    Niech p będzie miarą określoną na wszystkich podzbiorach nieskończonej przestrzeni X w sposób następujący

card(.4),

+0O,

jeżeli .A jest skończonym zbiorem, jeżeli .4 jest nieskończonym zbiorem.

Zbadać, jaką postać mają funkcje mierzalne.

/ 150. Niech będzie określona miara p na cr-ciele 9Jt c 2*. Udowodnić, że jest |funkcją mierzalną wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem mierzalnym.

| 151. Czy suma dwóch funkcji niemierzalnych może być funkcją mierzalną?

I 152. Czy iloczyn dwóch funkcji niemierzalnych może być funkcją mierzalną?

I 153. Podać przykład takiej funkcji / niemierzalnej, aby |/| była funkcją mierzalną.

154. Niecli p będzie miarą zupełną. Podać przykład takiej funkcji mierzalnej, że pomnożona przez dowolną funkcję daje w wyniku zawsze funkcję mierzalną.

\    155. Niech A C K będzie zbiorem niemierzalnym. Niech

jeśli x € A, jeśli * € R - A.

Czy funkcja / jest mierzalna?

156.    Niech / będzie funkcją rzeczywistą określoną na E. Wykazać, że mierzal-ność zbiorów {2 : /(*) = e} dla dowolnego c 6 R nie wystarcza, aby / była funkcją mierzalną.

157.    Niech A C R będzie zbiorem gęstym w E. Udowodnić, że funkcja /jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego a S ś zbiór {2 : f(x) > a} jest mierzalny.

158.    Niech .4 CS będzie zbiorem gęstym w R. Udowodnić, że funkcja / jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego aćś zbiór {2 : /(x) < a) jest mierzalny.

(15^. Skonstruować funkcję / mierzalną w sensie Lebesgue’a określoną na R taką, że funkcja obcięta /|R—E, gdzie E jest dowolnym zbiorem miary zero, nie jest ciągła w żadnym punkcie zbioru R - E.

O    Wykazać, że funkcja / jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowol-

^nego zbioru otwartego GcE zbiór    jest zbiorem mierzalnym.

(JBJi Wykazać, że jeżeli / jest funkcją mierzalną określoną w X, a B C 1 jest zbiorem borelowskim, to f~^l(B) jest podzbiorem mierzalnym przestrzeni A'.

162.    Wykazać, że jeżeli p* jest miarą zewnętrzną metryczną, to dowolna funkcja ^iągla / : X — R-, gdzie X jest przestrzenią metryczną, jest funkcja mierzalną.

163.    Wykazać, że jeżeli dowolna funkcja ciągła / : X — R, gdzie X jest przestrzenią metryczną, jest funkcją mierzalną względem miary zewnętrznej p“, to p* jestjBŁŁryężna.

/i^4T)Wy kazać, że jeżeli / jest funkcją mierzalną w X, a g jest funkcją określoną nalKTmającą następującą własność: dla dowolnego zbioru otwartego G C R 5^_1(G) jest zbiorem borelowskim w R, to superpozycja go f jest funkcją mierzalną w X.

165.    Niech / będzie funkcją ciągłą określoną na przedziale domkniętym [a, 6], a p niech będzie miarą Lebesgue’a. Wykazać, że funkcja / spełnia warunek

(N)    jeżeli E C [o, 6] i fi{E) = 0, lo fi(f{E)) = 0

, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru mierzalnego ^4 C [a,b] zbiór /(.4) jest zbiorem mierzalnym.

166.    Wykazać, że jeśli X — [0,1], a p jest miarą Lebesgue’a, to istnieje zbiór P C [0,1] taki, że P nie jest zbiorem borelowskim, ale jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a.

167.    Niech p“ będzie miarą zewnętrzną Lebesguea, B niech będzie <r-cialem zbiorów borelowskich. Rozważmy miarę p = p’|B. Wykazać, że p nie jest miarą zupełną.

Ć^6§1) Podać przykład funkcji /, g mierzalnych takich, że superpozycja f o g jest funkcją niemierzalną.

169.    Podać przykład takiej funkcji g mierzalnej w sensie Lebesgue’a, dla której istnieje zbiór borelowski B taki, że g(B) nie jest zbiorem mierzalnym.

170.    Podać przykład takiej funkcji g mierzalnej w sensie Lebesgue’a, że funkcja odwrotna g~^l nie jest mierzalna.

171.    Podać przykład takiej funkcji / mierzalnej w sensie Lebesgue’a, że istnieje

zbiór mierzalny .4 taki, że    nie jest zbiorem mierzalnym.