11099

W.K.W. na to aby istniała całka funkcji f(x):    lim_n->,s_n = lim,»-.Sn Sn-suma całkowa dolna; Sn-suma

całkowa górna; on-suma całkowa.

ZASTOSOWANIE CAŁKI OZNACZONEJ:

1.    Objętość-dokonujemy obrotu krzywej wokół osi OX. Dzielimy na n-części: a=xo<xl<...<xi-l<xi<...<xn=b. W każdym z pod przedziałów <xi-l,xi> obieramy punkt Ęi. jt[f(^i)]²Axi - objętość walca o promieniu f(£i) i wysokości Axi. Tworzymy sumę on=.„iEⁿx[f(ęi)]²Axi - przybliżona objętość rozpatrywanej bryły. Aby wyznaczyć dokładną objętość bryły należy rozpatrzyć wszystkie normalne ciągi podziałów w <a,b> i odpowiadające im ciągi sum {on}. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <a,b> ciąg sum częściowych {on} dąży do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktu to granicę tę nazywamy OBJĘTOŚCIĄ rozpatrywanej bryły i jest równa V= x J1f(x)pdx.

2.    Długość łuku krzywej płaskiej-Niech funkcja y=f(x) jest określona i ciągła w <a,b> i posiada pochodną w przedziale. Dzielimy <a,b> na n-części. Przez punkty podziału prowadzimy 1 do OX. Na krzywej otrzymujemy punkty. Łączymy punkty odcinkami, otrzymamy łamaną o wierzchołkach Po, Pl,...,Pn. Długość tej łamanej będzie przybliżoną długością krzywej, (rys) Ci=WAxi²+Ay². Tworzymy sumę on=,.iEⁿVAxi²+Ay²- dł. łamanej wpisanej w krzywą.

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <a,b> ciąg sum on dąży do tej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów Ęi, to granicę tę nazywamy DŁUGOŚCIĄ ŁUKU KRZYWEJ i jest ona równa:    s=J**>/H-(f'(x)]² dx.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY DWÓCH ZMIENNYCH.

Zbiory płaskie - każdy zbiór punktów na płaszczyźnie. Punkt Po nazywamy punktem wewnętrznym zbioru - jeżeli istnieje takie otoczenie tego punktu, którego punkty należą do zbioru E. Otoczeniem punktu Po promieniu 8 >0 nazywamy wnętrze koła o promieniu 8 i środku Po. Dopełnienie zbioru -zbiór punktów nie należących do danego zbioru. Punkt brzegowy - punkt, w którego każdym otoczeniu leżą punkty do zbioru należące i nienależące. Zbiór punktów brzegowych nazywamy brzegiem. Zbiór spójny - zbiór, w którym każde dwa punkty można połączyć linią ciągłą zawartą w tym zbiorze. Zbiór otwarty i spójny nazywamy obszarem otwartym. Obszar otwarty z dołączonym brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.

Określenie funkcji dwóch zmiennych: Jeżeli każdemu punktowi P (x,y) zostaje przyporządkowana jedna i tylko jedna liczba rzeczywista to mówimy, że na zbiorze E została określona funkcja dwóch zmiennych. z=f(x,y)

Obraz geometryczny funkcji dwóch zmiennych, (rys) W każdym punkcie obszaru E (x,y) wystawiamy wektor 1 do płaszczyzny OXY o mierze względem osi Z równej f(x,y). Zbiór końców wektorów przedstawia na ogół powierzchnię , którą nazywamy obrazem geometrycznym funkcji dwóch zmiennych.

Obszar normalny - obszar D nazywamy normalnym względem OX jeżeli każda prosta 1 do osi OX i przechodząca przez punkt wew. Tego obszaru przecina brzeg tego obszaru dokładnie w dwóch punktach. Dx: a £ x £ b f(x)£y£g(x).    Dy: c £ y £ d <p(x) £ x £ y(x).

Granica funkcji dwóch zmiennych: (rys). Mówimy, że ciąg punktów Pn jest zbieżny do punktu Po, jeżeli odległość |PnPo|->0 „.»o.    |PnPo|->0 = lim „.^Pn = Po. Tworzymy ciąg wartości funkcji f(Pn).

(rys.) Def. Hainego: Jeżeli dla każdego ciągu punktów {Pn} Pn * Po i limPn = 0 i ciąg wartości f(Pn) -> g to mówimy, że funkcja w punkcie Po ma granicę równą g. Lim f(x,y) = g.

Pochodne cząstkowe dwóch zmiennych: (rys.) z=f(x,y); Po(xo,yo)eD. Przez punkt Po prowadzimy płaszczyzny x=xo, y=yo. W wyniku przecięcia otrzymujemy krzywe KI, K2. KI: z=f(x,yo) ; K2: z=f(xo,y). Równania tych krzywych są funkcjami 1 zmiennej. Można zatem mówić o pochodnej funkcji

przedstawiającej krzywą KI i K2. limAx >o    - dla KI. f x(xo,yo) - pochodna cząstkowa funkcji

dwóch zmiennych w punkcie Po (po x); lim._ły.>o ~^ł    - pochodna cząstkowa fun. dw. zm. W

punkcie Po: f y(xo,yo).

Interpretacja geometryczna pochodnej cząstkowej: Pochodne cząstkowe oznaczają tangensy nachylenia stycznej KI, K2 względem odpowiedniej osi. Równanie stycznej do krzywej KI: z-f(xo,yo)=f'x(xo,yo)(x-xo) i y=yo. Równanie stycznej do krzywej K2: z-f(xo,yo)=f'y(xo,yo)(y-yo) i x=xo.

Pochodne wyższych rzędów: ... twierdzenie Schwarza: Jeżeli w pewnym punkcie obszaru D pochodne mieszane są ciągłe to są sobie równe w tym punkcie: d²+z/dxdy = d²z/dydx.

POCHODNE 3 ZMIENNYCH:

(x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)²< 8² - otoczenie Po(xo,yo,zo). Obszar normalny względem OXY można przedstawić: V= a<x<b <p(x)£y^g(x) fl(x,y) £ z < f2(x,y). (rys.)