str010

Na to, aby funkcja f skończona, określona na zbiorze

.4 C R" mierzalnym w sensie Lebesgue’a była mierzalna w sensie Lebesgue’a, potrzeba i wystarcza, aby dla każdego e > O istniał zbiór domknięty F taki, że f\E jest ciągła i p(.4 - F) < z.

Definicja 30. Funkcję rzeczywistą / określoną na przestrzeni metrycznej A' nazy-

wamy funkcją pierwszej klasy Baire’a, jeśli / jest gTanicą punktowo zbieżnego ciągu funkcji {/_n}neH określonych na X i ciągłych.

Definicja 31. Funkcję rzeczywistą / określoną na przestrzeni metrycznej X nazywamy funkcją drugiej klasy Baire’a, jeśli / jest granicą punktowo zbieżnego ciągu funkcji {/„ }„£H, gdzie /„ są funkcjami pierwszej klasy Baire’a określonymi na X.

Definicja 32. Niech (A',pi), (Y,po) będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że funkcja f : X —» Y jest ciągła w punkcie *o £ X, jeśli dla dowolnego z > 0 istnieje i > 0 taka, że dla dowolnego x 6 X z nierówności pi(i,so) < 6 wynika nierówność Ps(/(j;), /(^o)) < £• Funkcja / jest ciągła (na X), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie x & X.

ZADANIA

146.    Niech p’ będzie miarą zewnętrzną określoną w zadaniu 7. Jaką postać mają funkcje mierzalne w tym przypadku?

147.    Zbadać jaką postać mają funkcje mierzalne, jeżeli p" jest miarą zewnętrzną z zadania 9, a X = R?

148.    Zbadać jaką postać mają funkcje mierzalne, jeżeli p* jest miarą zewnętrzną z zadania 10, a X = R?

149.    Niech p będzie miarą określoną na wszystkich podzbiorach nieskończonej przestrzeni X w sposób następujący

jeżeli .A jest skończonym zbiorem, jeżeli .4 jest nieskończonym zbiorem.

/    150. Niech będzie określona miara p na cr-ciele OT C 2*. Udowodnić, że x_A jest

(funkcją mierzalną wtedy i tylko wtedy, gdy .4 jest zbiorem mierzalnym.

| 151. Czy suma dwóch funkcji niemierzalnych może być funkcją mierzalną?

I 152. Czy iloczyn dwóch funkcji niemierzalnych może być funkcją mierzalną?

(    153. Podać przykład takiej funkcji / niemierzalnej, aby |/| była funkcją mie

rzalną.

154. Niecli p będzie miarą zupełną. Podać przykład takiej funkcji mierzalnej, że pomnożona przez dowolną funkcję daje w wyniku zawsze funkcję mierzalną.

1155. Niech A C IR będzie zbiorem niemierzalnym. Niech

jeśli x 6 .4, jeśli zgE-ś. .

_ f *.

Czy funkcja / jest mierzalna?

156.    Niech / będzie funkcją rzeczywistą określoną na E. Wykazać, że mierzal-ność zbiorów {x : /(*) = c} dla dowolnego c € ® nie wystarcza, aby / była funkcją mierzalną.

157.    Niech A C 1 będzie zbiorem gęstym w E. Udowodnić, że funkcja / jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego a 6 A zbiór {s : f(x) > a} jest mierzalny.

158.    Niech ,4Cl będzie zbiorem gęstym w R. Udowodnić, że funkcja f jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego a ć A zbiór {x : f(x) < a) jest mierzalny.

(15^, Skonstruować funkcję / mierzalną w sensie Lebesgue’a określoną na R taką, że funkcja obcięta /|f.-£, gdzie £ jest dowolnym zbiorem miary zero, nie jest ciągła w żadnym punkcie zbioru R — E.

o    Wykazać, że funkcja / jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowol

nego zbioru otwartego G C 1 zbiór f~^l(G) jest zbiorem mierzalnym.

(IJJA Wykazać, że jeżeli / jest funkcją mierzalną określoną w X, a B C R jest zbiorem borelowskim, to    jest podzbiorem mierzalnym przestrzeni A'.

162.    Wykazać, że jeżeli /r* jest miarą zewnętrzną metryczną, to dowolna funkcja ciagla f : X — R, gdzie X jest przestrzenią metryczną, jest funkcja mierzalną.

163.    Wykazać, źe jeżeli dowolna funkcja ciągła f : X — E, gdzie X jest przestrzenią metryczną, jest funkcją mierzalną względem miary zewnętrznej p', to /i" jestjTifiiryęzna.

r^lś?)Wykazać, że jeżeli / jest funkcją mierzalną w .Y, a g jest funkcją określoną

WlRTmającą następującą własność: dla dowolnego zbioru otwartego GcR

jest zbiorem borelowskim w R, to superpozycja go f jest funkcją mierzalną w X.

165.    Niech / będzie funkcją ciągłą określoną na przedziale domkniętym [a, 4], a /i niech będzie miarą Lebesgue’a. l^ykazać, że funkcja / spełnia warunek

(N)    jeżeli E C [a, 6] i p(E) = 0, to ii(f(E)) = 0

, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru mierzalnego A C [a, 6] zbiór f(A) jest zbiorem mierzalnym.

166.    Wykazać, że jeśli X = [0,1], a p jest miarą Lebesgue’a, to istnieje zbiór P C [0,1] taki¹, że P nie jest zbiorem borelowskim, ale jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a.

167.    Niech p‘ będzie miarą zewnętrzną Lebesgue‘a, B niech będzie <r-cialem zbiorów borelowskich. Rozważmy miarę p = p’\B. Wykazać, że p nie jest miarą zupełną.

(^6§1) Podać przykład funkcji /, g mierzalnych takich, że superpozycja f o g jest funkcją niemierzalną.

169.    Podać przykład takiej funkcji g mierzalnej w sensie Lebesgue’a, dla której istnieje zbiór borelowski B taki, że g(B) nie jest zbiorem mierzalnym.

170.    Podać przykład takiej funkcji g mierzalnej w sensie Lebesgue’a, że funkcja odwrotna g~^l nie jest mierzalna.

171.    Podać przykład takiej funkcji / mierzalnej w sensie Lebesgue’a, że istnieje zbiór mierzalny .4 taki, że f~^l(A) nie jest zbiorem mierzalnym.