img089

89

Rozdział 7. Sieć Hopfielda

Na podstawie wyżej podanej definicji funkcji E można obliczyć zmianę SE zachodzącą na skutek zmiany stanu sieci wyrażającej się zmianą sygnału wyjściowego i-tego neuronu:

mjŁi

Wzór ten można także zapisać w sposób bardziej czytelny:

*£*>> = - [ej"-»<*']

Na podstawie tego wzoru rozważymy możliwe zachowania sieci. Weźmiemy pod uwagę jeden z neuronów sieci (o numerze i) rozważając wszystkie możliwe stany jego pobudzenia e~P i sygnału wyjściowego yp\

Załóżmy, że w pewnym kroku j łączne pobudzenie neuronu ep* przekracza próg u>q'\ Wówczas zgodnie z zasadą działania rozważanego modelu neuronu — na wyjściu tego neuronu powinien pojawić się sygnał = 1. Oznacza to, że czynnik Syf^ musi być w takim przypadku dodatni lub zerowy — nigdy ujemny. Równocześnie przy ep* > także czynik w kwadratowym nawiasie musi być dodatni, a zgodnie z podanym wzorem zmiana całkowitej „energii” sieci SEfr) musi być ujemna lub zerowa.

Do podobnego wniosku dochodzimy przy przeciwnym założeniu. Jeśli ep* < Wq\ to oczywiście = 0 i oczywiście wtedy czynnik 5j/p musi być w takim przypadku ujemny lub zerowy — nigdy dodatni. W rezultacie także i w tym przypadku zmiana całkowitej „energii” sieci SE^ musi być ujemna (lub zerowa).

Wreszcie gdy ep^ =    \ to oczywiście SEW = 0 i energia sieci nie zmienia się.

Z tego prostego rozumowania wynika, że całkowita „energia” sieci może pozostawać stała lub może się zmniejszać — natomiast nie może rosnąć. Skoro w trakcie pracy sieci „energia” stale maleje — musi wreszcie osiągnąć stan odpowiadający minimum — lokalnemu albo globalnemu. Po osiągnięciu tego minimum dalsze zmiany w stanie sieci są niemożliwe i cały proces zatrzymuje się. Jak widać w takim przypadku sieć jest stabilna.

7.4 Procesy dynamiczne w sieciach Hopfielda

Dynamiczne właściwości sieci Hopfielda wygodnie jest rozważać na podstawie ciągłego modelu zachowania sieci. Wektor siimarycznyoh pobudzeń wszystkich neuronów sieci o można wtedy związać z wektorami sygnałów wyjściowych z elementów sieci Y oraz sygnałów wejściowych (zewnętrznych) X za pomocą macierzowego równania różniczkowego

£ = _ £ + w Y + X

dt T

uzupełnionego nieliniowym równaniem charakterystyki statycznej jednego elpmentu

Vi =‘p(*i)

Dla takiego nieliniowego systemu dynamicznego możliwe jest określenie funkcji Łapanowa w postaci

Ł = -I Y^TWY-X^T Y + -T, rv^,(0^

^{2    r} frl Jo