5469091775

Korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza e jest funkcją holomorficzną oraz z własności działań na tych funkcjach. Stąd można wyprowadzić wzory na pochodną:

(cosz)' = i(ie¹² — ie ¹²) = ^(e¹² — e ¹²) = —^(e¹² — e ¹²) = —sinz.

1    j    i .

(sinz)' = —(ie^łZ + ie^-12) = —(e¹² + e^-12) = -(e*² + e^-12) = cosz.

(tgz)' = -K- (ctgz)' = -r4--cosⁱz    sin* z

b) cos²z + sin² z = 1.

cos² z + sin² z =

=j (e^2iz + 2eⁱ²e“‘^z + e"²'²) - \ (e²ⁱ² - 2eⁱ²e”“ + e"²ⁱ²)

4 ^v

Ą_eiz_e-2iz

4

c) Części rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynoszą odpowiednio:

sinz = sinxchy + icosxshy cosz = cosxchy — isinxshy

sin2x    sh2y

tgz z

cos2x + ch2y cos2x + ch2y

Dowód podamy dla funkcji sinz e^lz — e~^lz

pi(x+iy) _ p-i(x+iy) _p-y+ix _ _py-ix

2 i    2 i    2 i

e~^v(cosx + isinx) — e^y(cosx — isinx)

2 i

= sinxchy + icosxshy.

d) Funkcje trygonometryczne sinz, cosz, tgz są rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji sinx, cosx, tgx.