1673068228

10

ZBIGNIEW BLOCKI

i)    wprost z definicji, korzystając z faktu, że sinus jest funkcją nieparzystą, a cosinus parzystą, wyprowadzić

f    dC    C 1 + a cos t

/    ——^— - 2 i / ---- dt,

JdK(z₀,r)    ^z Jo 1 + 2a cos t + a^z

gdzie a = \z — Zq\/t < 1 i obliczyć odp. całkę nieoznaczoną;

ii)    udowodnić, że dla każdej pólprostej P o początku w 2 funkcja i—>■ 1/(C — ma pierwotną w C \P oraz użyć (3.1), (3.2);

iii)    pokazać, że

(C~- So)"+i' ^Z€K(-^Z°'^T'¹’ C e S/ST(«o,r),

przy czym zbieżność jest jednostajna dla £ G dK(zo,r), i użyć (3.2). Zauważmy, że

(3.3)    |y /(z)d=| < J I/(t(*))I    < ^l(l) ^m^x|/l,

) ^:= J

gdzie

jest długością 7.

Wykład 3, 12.03.2007

4. Twierdzenie całkowe Cauchy’ego

Podstawową własnością geometryczną funkcji holomorficznych jest twierdzenie całkowe Cauchy’ego. Łatwo wynika ono ze wzoru Greena w następującym przypadku (Cauchy, 1825): załóżmy, że / jest funkcją holomorficzną klasy C¹ w obszarze f2, natomiast 7 jest drogą zamkniętą w fl, która parametryzuje brzeg klasy C^l obszaru D <£ SŁ Wtedy

f f(z)dz= f d(fdz)= ( fjdź A dz — 0.

Jd    Jd

Głównym problemem w uogólnieniu tego faktu jest pozbycie się założenia, że / jest klasy C¹. Zostało to dokonane przez Goursata w 1900 r. Podstawowym krokiem w dowodzie ogólnej wersji twierdzenia całkowego Cauchy’ego było wykazanie jego wzmocnionej wersji dla brzegu trójkąta (sam Goursat rozpatrywał czworokąty, jak jednak wkrótce zauważył Pringsheim, naturalnym obiektami metody Goursata były trójkąty).

Twierdzenie 4.1. Załóżmy, że f G 0(Cl \ {20}) H C(Ct), gdzie jest otwartym podzbiorem C, zaś zq € fil. Wtedy dla dowolnego trójkąta T C fl (czyli otoczki wypukłej trzech niewspólliniowych punktów) mamy