13025 skanuj0006 (343)

58

ćwiczenia laboratoryjne z fizyki

M = F 1 + F^a. Korzystając z faktu, że kierunek działania siły ciężkości jest prze-

d²<p

ciwny do wychylenia wahadła, drugą zasadę dynamiki Newtona /

dt²

M (gdzie

/ = ml² - moment bezwładności wahadła matematycznego) dla każdego wahadła można zapisać w postaci:

ml

—1 =    -aka§| - 0₂)

ml‘

dt

d²<f>

~d?

(5.1)

—mgl<f>₂ + aka (<f)_] — <fi₂ )

lub po uporządkowaniu:

(5.2)

d²ó₂ g , a²k ₍    \

“TT-= “702 +7-(0. “0₂) dt l Im

Otrzymaliśmy układ dwóch równań różniczkowych liniowych i jednorodnych, ale zależnych, gdyż w każdym z nich występują obie zmienne 0, i 0₂ • Dokonując transformacji układu współrzędnych, można te równania sprowadzić do układu równań niezależnych. Dodając i odejmując stronami od siebie oba te równania, otrzymujemy nowy układ równań niezależnych od siebie:

(5.3)

d² (0i + 02 )

dt²

d²(<fi\ ~0₂)

dt²

Nowe zmienne x_l—^>₁+<p ₂ i x₂ = <f>_l — <p₂ nazywamy współrzędnymi normalnymi, a drgania odbywające się w tym układzie - drganiami normalnymi lub własnymi.

Zgodnie z ogólną postacią drgań harmonicznych możemy zapisać:

d²x_v

~dF

= —a>²x

d²x₂

~dF

(5.4)

—(o\x

(5.5)

gdzie:    f +

nazywają się częstościami własnymi drgań normalnych.