chądzyński1

136 7. DALSZE WŁASNOŚCI FUNKCJI HOLOMORFICZNYCH

Rozwiązanie. Połóżmy f(z) = (z — l)^pe^z, g{z) = —a. Dla z € pK mamy |g (z)\ = |a| < (l/2)^p < |/ (z)|. Funkcja / ma w kole A je[Ino zero p-krotne, zatem w myśl twierdzenia Rouchego fuiikcja h(z)\ f{z) + g(z) ma w K dokładnie p zer z uwzględnieniem ich krotndści. Pochodna h' zeruje się w A" ty lico w pimkeie 1 i ń(l) = — a ^ 0. Zatem wszystkie pierwiastki funkcji h są jednokrotne. Reasumując, funkcja h ma w kole K p różnych pierwiastków.    i

W zbiorze {£ G C : Re £ > 0} \ A =: A funkcja h nie ma zer.i Istotnie, dla 2 e A mamy

\h{z)\ > |/ (z)j - |g (z)\ > (1/2 f - \a\ > 0.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Niech f będzie funkcją holomorficzną w kole K — {z G C : \z\ < 1} i f(z) ~ YlkLo ^akZ^k- Niech G C C będzie zbiorem otwartym takim, ze 0 G G C K. Pokazać, że jeśli funkcja f ma w zbiorze G n zer i fi = infę_Gac 1/ (OL* ^

(*)    M < |uo| + • ■ • + l^nl •

Rozwiązanie. Gdy 0 G dG, to g < |a₀| i nierówność (*) jest prawdziwa. Załóżmy, że 0 € G i przypuśćmy, że (*) nie zachodzi. Połóżmy

g(z) = — (a₀ + aiz H----+ a_nzⁿ). Wtedy dla z € dG mamy \g(z)\ <

jtto) -i-----h\a_n\ < fi < |/ (z)|. Funkcja / ma n zer w G, zatem na mocy

twierdzenia Rouchego funkcja f + g = SŁn+1 ^ak^zk ma w G również n zer. To jest jednak niemożliwe, bo 0 G G i funkcja YlkLn+i ^a^^z*j ^nia w punkcie 0 zero co najmniej (n + l)-krotnc.    i

To kończy rozwiązanie.    ;    □

I

Zadanie 5. Niech P będzie wielomianem zespolonym. postaci P{z) = zⁿ+aizⁿ~- -\-a_n, gdzie ai,..., a_n nie znikają jednocześnie. Pokazać, że wszystkie zera wielomianu P leżą w kole

Iz £ C : \z\ < 2 max ^/|aj| | .    ;

Rozwiązanie. Połóżmy A = maxjV_i {/\^aj\- Niech, zgodnie z oznaczeniami w twierdzeniu Rouchego, G = {z € <C : \z\ < 2A], f (z) — z⁷¹ i

I

7.1. TWIERDZENIE ROUCHEGO

137

i

\

i g^z) — y^J_₁ ajzⁿ~^J. Wówczas dla z E G\G mamy

|

iflWi < Ebiw"'³<E^(2Ar^j

j    j=i    i=i

j    = /l”Ż2»-i = A*|fy^<(M)" = |/W|.

■    i=i

| Stąd i z twierdzenia Rouchego wielomian P — / + g ma wszystkie zera i w kole G.

j    To kończy rozwiązanie.    □

|    Zadanie 6. Niech f będzie wielomianem zespolonym postaci f(z) —

|    zⁿ -+■ aizⁿ~~^l H— ■ Ta_n i niech ..., (_s będą wszystkimi różnymi zerami

|    tego wielomianu, odpowiednio o krotnościach l\,..., l_s. Pokazać, że dla

\    dowolnie malej liczby e > 0 istnieje liczba 5 > 0, że wielomian g postaci

\    g(z) — z”+6iZ^n-1H-----hh_n, którego współczynniki spełniają nierówności

\    |ai — bi\ < 5, i — 1,,n, ma w kole Kj — {z G C : \z — (u| < £}

^!    dokładnie l₃ zer z uwzględnieniem ich krotności, j = 1,..., s (twierdze-

j nie o ciągłości zer).

| Rozwijanie. Niech e będzie liczbą na tyle małą, że w kole domknię-|    tym Kj wielomian /    zeruje się tylko w punkcie Cp 3 — 1,..., 6'. Niech

j    koło Kr    — {z G C :    [z| < P} będzie na tyle duże, że Kj C Kr dla

j j =    Połóżmy 11 = inf{|/(()| : ( G \J^sj=ldKj} i S =

j    T)/ (1 +----b Rⁿ~^l).    Niech h (z) = (bi - a-j) zⁿ~¹ + • • • + (b_n - a„) i

j    niech |a*    — R\ < S    dla i — 1    Wtedy dla dowolnego j G

j {1,..., s} i dowolnego 2 G dKj mamy

1.    7i    n

j i^(0! < E i⁶* - “-i w^n_i < ^s E ^Rn~'

j    z=l    *=1

i Stąd i z twierdzenia Rouchego dla każdego j 6 {1,..., s} wielomian f g — /+/iw kole Kj ma l₃ pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności, i    To kończy rozwiązanie.    □

i