chądzyński2

G2 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

Rozwiązanie. Połóżmy B = C\U_nGZ {£GC:|z-n|<l/4}. Ponieważ \dl_n\ C E dla każdego n G N, zatem w myśl zadania 2.3.5 istnieje liczba C > 0 taka, że dla dowolnego n G N

(1)

Połóżmy

(2)

Niech

(3)

sm 7zz

< C i [ctg 7T2;] < C dla 2: 6 |dl_n\

/iW =    i h{z) = Ctg7T2;^P^

sin 7tz Q(z)

'W

I    1    I

Z_ln = (n+-)(-l-i),Z2n =    (n+-)(l-i),    J

II    I

23n ■ (n + -)(l + i),Z4n = (n + -)(-l -hi).    |

Wtedy dl_n — [z_ln, Z2_Tl, Z3n, ^z4n, Zin] i wówczas dla fcG{l,2} mamy f

⁽⁴⁾    I

/ /fc(^)d2 = { /    + f +f +f \ f_k(z)dz. I

•> dln    •! [z~[u,Z'2n]    d [z'2_7t>Z3_n]    " [^3ni*^;4n]    " |.Z4_n,2j_n] J    jj¹

P

Pokażemy, że    f

(5)    !

f    fk(z)dz +

[zin,Zh

I fk(z)dz = /    [/*(*) - /jfe(—-s)] dz,

[^Sn-i^dn]    d [zin,Z2n]

(6)

fk(^z)dz — /    [/*(*)-/* (-.z)J d*.    |

J [^‘2n i^3n|

f_k(z)dz+ j

’[z2n>Z3n]    d [z_4r)

Istotnie, niech 7_ln : (0,1) 9 t i-v 2_ln -f (2r_2n — 2_ln)t € C będzie | opisem parametrycznym odcinka zorientowanego [zi_n, z₂n), a : f (0,1) O t 1—► 2_3n + (z_4n — z_3n)t G C - opisem parametrycznym odcinka t zorientowanego jz_3n, z_4nj. Ponieważ z%_n — —z_Jn i z_4n — —z_2n, to | 7₃n = —7 in* Stąd    I

f fk{z)dz — f /fc(73nW)73nW^ = d [²3n    *2 0

f A-("7mW)(-7inW)^ = - f    fk(-z)dz,

d 0    *2[-Zl_n,Z2rt]

co daje (5). Niech teraz 7_2n : (0,1) 3 t z_2n + Mn ~ *2n)t G C będzie opisem parametrycznym odcinka zorientowanego [z_2n,    , a

7_4n : (0,1) 9 < ^    + («in ~ ^z4n)t G C - opisem parametrycznym

odcinka zorientowanego [^_4n, z_ln\. Ponieważ z_4n = —z_2jt i z_ln — -*3m to 7_4n - -7_2n- Stąd

f fk{z)dz= f fk(l_4n(t))j'_An(t)dt =

J[ziri,Zln]    Jo

f A(-72nW)(-T2nW)^= ~ f fk{~z)dz,

Jo    Jp2n,^3n]

co daje (6).

Z (4), (5) i (6) dostajemy

(7)    A_kn:= ( f_k(z)dz— j    [fk(z)-f_k(-z)\dz.

*'dln    *■* [&1 nj^2n >^3n]

Zauważmy teraz, że dla z leżących na łamanej [z_ln, z_2n, Z3_n] mamy

fW . p(-0

Q(z) Q(-z)

(8)    \f_k(z) - fk(-z)I < C Istotnie, z (2) mamy

P(-z)

P(z)

sin 7tzQ(z)    sin(—ttz)Q{—z)

l/iM - /i(-*)l

sin TT z

/2W - f2(-z)\ =

P(z) P(~z)

ct£7TZ

Q(-*)

PM

ctg( — 7Tz)

P(-^)

Q(-*)

|ctg7Tz|

Stąd i z (1) dostajemy (8). Połóżmy

Q(z) Q(—z)

P(z) P(-z) -r

P(z)

⁽⁾- Q(z) Q(-zY

Z (3) wynika, że łamana [z_ln, z_2n, Z3n] ma długość 2(2n + 1). Stąd, z (7), {8} i z własności I.I9.4 dostajemy

(9)    U*_rJ < 2(2n + l)CM_n,