chądzyński7

52 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

Z pierwszej części (2) wynika, że w odpowiednio małym przedziale (a,/?), zawierającym punkt t₀, j(t) o Q i superpozycja / 07 jest dobrze określona. Wówczas z (1) i (2) dla t e (a,/?) mamy

/°7W = /°7(<o) + /₁(7(t))(7(i)-7(io)) =

/ ⁰ 7(«o) + /lfrWbi W(* - *o)>

gdzie funkcja (/i o yjyy jest określona w przedziale (a,/?) i ciągła w punkcie t₀ orćiz /i(7(*o)bi(*o) - /ifabi(*o) = /'(^ob^o). Zatem, w^f myśl zadania 1, funkcja / o 7 ma w punkcie to pochodną

/'(* ob'M-

To kończy rozwiązanie.

□

3.2. Krzywe i całkowanie w dziedzinie zespolonej

Zadanie 1. Niech /, g : M D (a, /?) —» C óędą funkcjami całkowalnymi. Pokazać, że dla dowolnego e > 0 istnieje 6 > 0 taka, że dla każdego podziału a — to < t\ < - • • < t_n^\ < t_n — d na części o długościach mniejszych niż Ó i dla dowolnego doboru punktów pośrednich Oj E    'marny

^Ja    j* rl    Jtj-l

W szczególności, jeśli f : IR D (a, ,d) —» C jest funkcją całkowalną,

to dla dowolnego e > 0 istnieje S > 0 takie, że d/a każdego podziału \ a: = <0 <    < * ’ * < bi-i < t_n — p na części o długościach mniejszych \

niż <5 i dla dowolnego doboru punktów pośrednich Oj E (tj_i,tj). mamy

(pat rz uwaga 1.18.1).

Rozwiązanie. (*)♦ Dalej dla uproszczenia będziemy pisać

r&

zamiast

hdt zamiast / h(t)dt.

Połóżmy Ref — /i,Im/ — /₂, Reg = g\, Im g — g₂. Wiadomo z

dziedziny rzeczywistej (patrz np.[Sp], lemat 11.5.1), że (*) zachodzi dla | rzeczywistych funkcji f, g. Stąd, dla dowolnego e > 0 istnieje 5 > 0 l

takie, że dla każdego podziału a = to < ti < • • • < t_n-i < t_n = 0 na części o długościach mniejszych niż 6 i dla dowolnego doboru punktów pośrednich Oj 6    dostajemy

(i)

| (2) |    (3)

(4)

fP    JL    rh

/ hgidt-^f^Oj)

Joc    _j=1    Jtj-1

9idt

<    s/4,

<    e/4,

<    ^£/4,

hg-idt -    f    g₂dt

j—i A-1

/iS2d£-]P/i(0j) f g₂dt

3=i A-i

f f29idt-J2f₂{e_j) f _gidt

d^Q    j1    dtj—l

Z (1), (2), (3), (4) oraz z własności I.l.l(f) mamy

rP    ⁿ    rtj

/    / gdt.

d^a    j—i    A-i

z*/³    ”    /*tj

/ (/i + if?) foi + h?2)dt - J^(/i 4- i/2)(^) / foi 4

'^/q    j=i    A-i

ⁿ    rh

/ fi9\dt - y^/ifoj) / ffidi

i=i    A-i

f fzg-idt - y^/₂(fo) [ g₂dt _J=1 A-i

/    f g₂dt

\^Ja    j=i    ^Jii-i

f f2gidt -    [    9idt

^Ja    j=i    A-i

< e/4.

4

4

4

<

Wzór (**) dostajemy kładąc w (*) <7=1. To kończy rozwiązanie.

□