chądzyński9

56 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

56 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

Stąd i z twierdzenia I.18.1(e) dostajemy

W

2n—1

r/(A(r))A'(r)dr=X: P /(A(r))A'(r)* - £

Ja    Jfj-i    j₌i J^(^Tj-i)

Załóżmy najpierw, że A jest funkcją rosnącą. Wtedy A(a) = a, A(/3) — 6 i a — A(r₀) < A(ri) < ••* < A(r₂n-i) < A(r₂n-i) = ^b-Zatem z (1) i z twierdzerua. I.18.1(e) dostajemy

rP    ²Pz} r^x(Tj)    rb

/ /(A(r))A'(r)dr = £ /    = /

o:    j = l ^    J a

co daje (*).

Załóżmy teraz, że A jest funkcją malejącą. Wtedy A (a) = b, X(P) = a i a = A(r₂„_i) < A(r_2n_₂) < ••• < A(ri) < A(r₀) = b. Zatem z (1) i z twierdzenia 1.18. l(e), zgodnie z umową przyjętą w zadaniu 3, dostajemy

[ /(A(r))A'(r)dr = J2 [ f(t)dt =

Ja    j~i J

2n-l

2n~l    ²ⁿ 1    /■A(t₂ti_i__j)    /*6

f(t)dt = - 53 /    /W^dt = - / /W^di-

7 —ł •^^A(^r2n—j)    •'*

co daje (**).

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 5. Niech V będzie krzywą regularną i niech f : JF| —» C będzie funkcją ciągłą. Pokazać, że

(*)

J f{z)dz

f{z)dz.

Rozwiązanie. Niech T będzie krzywą regularną o opisie parametrycznym 7 : {a, b) —> C. Wtedy z definicji całki krzywoliniowej mamy

_{r    r}b

(i)

Funkcja (a, b) O t t—»■ f{^/y{t))^rf(t) G C jest kawałkami ciągła i funkcja A : (—6, —a.) 9 t h-> — t G (a, b) jest malejącą surjekcją klasy

C¹. Zatem, na mocy zadania 4,

(2)    - ^    = J ^ /(7(-*)b'(-0(-^l)dt-

Z drugiej strony, krzywa —T ma opis parametryczny {—ó, —a) 3 t    7(—t) € C. Wtedy, z definicji całki krzywoliniowej, mamy

(3)    J f{z)dz = J° /(7(-<))V(-f)(-l)rft Z (1), (2) i (3) dostajemy (*).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 6. Obliczyć długość:

(a)    dodatnio zorientowanego okręgu o środku w punkcie Zq i promieniu r,

(b)    odcinka zorientowanego o początku w punkcie Z\ i końcu w punkcie. z₂.

Rozwiązanie, (a). Opis parametryczny dodatnio zorientowanego okręgu o środku w punkcie z₀ i promieniu r dany jest wzorem

7 : (0,2tt) 3 t Zo + r exp it.

Stąd

/»27r    /*27t

/    |7'(t)|dt = / rdt = 2tt r.

Jo    Jo

(b). Opis parametryczny odcinka zorientowanego o początku w punkcie Z\ i końcu w punkcie z₂ dany jest wzorem

7 ^: (0,1) 3 t i—;► Z\ + (z₂ — Zi)l.

Stąd

z₂ - Zi\dt = \z₂ - zi\.

□

f\nm= f

Jo    Jo

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 7. Pokazać, że jeśli F jest krzywą regularną, to |T| jest zbiorem nigdziegęstym w C,

Rozwiązanie. Niech 7 : (a, fi) —> C będzie opisem parametrycznym krzywej T, a L jej długością.