chądzyński6

ROZDZIAŁ 3

Całkowanie w dziedzinie zespolonej

l    3.1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej

i

|    Zadanie 1. Niech {a, (3) C IR i 7 : (a, /3) —-> C. Pokazać, że funkcja

|    7 ma w punkcie t₀ pochodną 7'(to.) dokładnie wtedy, gdy istnieje

| funkcja y₁ : {«, P) —> C ciągła w punkcie t₀ taka, że

I (!)    7(0 = 7(*o) + 7i (t)(t ~ t₀)

I i 7i(*o) - 7'(*o)-

I

| Rozwiązanie. Jeśli funkcja 7 ma pochodną w punkcie t₀, to wystarczy | położyć

7(Q — 7(*o) t—1₀

Vft>)

dla t G (a. /?) \ {t₀}, dla    t = to-

|    7iW =

Jeśli istnieje funkcja y_x ciągła w punkcie t₀, spełniająca (I), to |    7 ma pochodną 7'(t₀) i 7%) = 7i(*o)-

; To kończy rozwiązanie.    □

I Zadanie 2. Pokazać, że jeśli funkcja 7 : {ar. fi) —>■ C mu w punkcie to | pochodną 7'(to) oraz funkcja f określona w otoczeniu z_Q = y(to) ma | pochodną f'(z₀), to superpozycja tych. funkcji, określona w odpouńednio | małym przedziale (a,/?) zawierającym punkt to, mu w tym punkcie | pochodną (f o 7)' (t₀) i zachodzi wzór

|    (/ oy)'(t₀) = f'{zo)y'{to).

| Rozwiązanie. Z lematu 1.9.2 wynika, że w pewnym otoczeniu Q punktu | zo istnieje funkcja Q —► C ciągła w punkcie z₀ taka, żo

j 00    f{z) = f(zo) + h{z){z - z_Q) i fi(zo) = f(z₀).

I

I W myśl zadania 1, istnieje funkcja 7_X : {a, fi) —> C ciągła w punkcie I to taka., że

I (2)    ₇(t) = ₇(t₀) + 7,(t)(t - t₀) i 7i(*o) = 7'(<o)-

51