chądzyński1

60 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

Istotnie, dokonując podstawienia t >—► (t + l)/2 i korzystając z faktu, że całka funkcji nieparzystej w przedziale symetrycznym względem zera jest równa zeru, dostajemy

60 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

2dt    _ f¹ dt _ f¹ t + i

J_n -i - r+ 21 ~ y__t -i+1 ~ /_! t² +1

¹ tdf . Z'¹ dt

+ i /    —-= 0 + z aretg t

dt =

_! t² + 1

t² + 1

-I

TT .

^ 2¹'

Obliczmy teraz całkę (*). Załóżmy, że bok kwadratu Q ma długość 2a, a > 0. Wtedy dQ — [zi, z₂,23, 24. Zi], gdzie 21 = z₀ — u — m, 2₂ = 2₀ -f a — ia, 23 — z₀ + a + za, 24 = zo — a + ia. Stąd mamy (2)

[ (i - z₀)~^ldz = ( f +[ +f +[    j(z-2o)‘¹d2.

J 9Q    VJ[z\,Z^]    J[z-2,zz]    d[»_3lz ₄j ./[z_4ij₁] )

Obliczmy pierwszą całkę po prawej stronie (2). Opis parametryczny odcinka zorientowanego o początku w punkcie z_T i końcu w punkcie 2*2 dany jest wzorem

7 : (0,1) 3 t i-> zi + (22 - 2i)t.

Stąd i z (1) dostajemy

/zi,_a2ł ²    ~ L (zi-zo) + (z₂ ~_Zl)i

[^l 2adt f¹ -Jo (-a-ia) + 2at J₀ (-1

^    /    /„    (22 - 2i)dt

2 dt    TT .

- i) + 2t “ 2 ^l'

Obliczmy drugą całkę po prawej stronie (2). Opis parametryczny odcinka zorientowanego o początku w punkcie z-₂ i końcu w punkcie 23 dany jest wzorem

7 : (0,1) 3 t ^ z₂ + (23 - z₂)t.

Stąd, wykorzystując (1), dostajemy

(4)    f    .w,. f^}    (Z3-Z2 )dt

/    (z- z_n) ^ldz = \

J\z-2,Z3)    JO

1

i

Zo,

2 aidt

0    (^z2 ~ Z₀) + (23 — Z₂)t

¹    2 dt

Jo (a - ia) -t' 2ait Jo (-1 — i) + 2t

TT .

Obliczmy trzecią całkę po prawej stronie (2). Opis parametryczny odcinka zorientowanego o początku w punkcie z^ i końcu w punkcie zą dany jest wzorem

7 : (0,1) 3 11—► Z'$ + (zą — z_z)t.

Stąd, wykorzystując (1), dostajemy

(zą — z_A)dt

(5)

L

[23,24] 1

(.z — zq) ^ldz

/

-2 adt

’0    (^z3 ^— Zo) + (z₄ — Z-$)t

f¹ 2 dt

⁼ Jo

TT . 2*‘

o (a -j- ia) — 2at    J₀ (—1 — i) + 21

Na zakończenie obliczmy czwartą całkę po prawej stronie (2). Opis parametryczny odcinka zorientowanego o początku w punkcie Z4 i końcu w punkcie Z\ dany jest wzorem

7 : (0,1) 3 t 1—> Z4 + (Z\ — z₄)t.

Stąd, wykorzystując (1), dostajemy

Oi - z₄)dt

(6)

L

[24 ,21 ] 1

(z — zq) ^ldz =

f

L

—2 aidt

Jo (—a -b ia) — 2ait

Z (2), (3), (4), (5) i (6) dostajemy (*). To kończy rozwiązanie.

(z₄ - Zo) + (zi - z₄)t f¹    2 dt    7r.

I₀ (-1 -i) + 2t ~ 2¹'

□

Zadanie 10. Niech P 1 Q będą dwoma wielomianami, przy czym Q niech będzie stopnia wyższego niż P. Oznaczmy przez dl_n dodatnio zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach (n 4- |)(drl dr i) dla n e N. Pokazać, że całki

1 m

sin 7Tz Q(z)

dz oraz

ctg7iz-

dz

d(\żą do zera, gdy n —* +00.

Wskazówka. Skorzystać z zadania 2.3.5. Przy całkowaniu wzdłuż dl_n połączyć całki wzdłuż boków przeciwnych i zauważyć, że

z

~P(z) , P{-*Y _Q(z)    Q(-z)_

g<iy

00.