chądzyński0

58 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

Zauważmy najpierw, że dla każdego podziału fp : a — t₀ < t\ < < t_n-1 < t_n — /3 przedziału (a, 8) rnamy

(i)

3= 1

Istotnie, przy zagęszczaniu podziału fp suma po lewej stronie (1) rośnie. Zatem korzystając z regularności krzywej F i zagęszczając ewentualnie podział ip, możemy założyć, że w każdym podprzedziale funkcja 7 ma ciągłą pochodną. Stąd i z twierdzenia 1.20.1 mamy

M*;) “ 7(*j-i)l =    7 W ^dt

3=i    1

< e r w(t)\dt = r iv(t)ia*=l.

j₌i

Pokażemy teraz, że (Tj jest zbiorem nigdziegęstym. Ponieważ |F| jest zbiorem domkniętym, więc jest. zbiorem nigdziegęstym dokładnie wtedy, gdy nie ma punktów wewnętrznych. Przypuśćmy przeciwnie, że ]F| ma takie punkty. Wówczas istnieje kwadrat normalny K C |r|. Bez zmniejszenia ogólności, kosztem ewentualnie przesunięcia, możemy założyć, że jest to kwadrat o wierzchołkach 0, 5,    i<5, gdzie 6 > 0,

Niech s będzie liczbą naturalną taką, że

(2)    «s + 2 > L/S.

Połóżmy z_k[ — (k + il)5/s dla k,l = 0, ...,5. Łatwo zauważyć, że Zki € K i

(3)    1 z_ki - zwv | > 5/s dla (k, l) ^

Ponieważ z_ki e |Fj dla kj — 0,...,s. więc istnieje ciąg punktów t₀,..., £_n, n = (s + 1 )² taki, że o: < £₀ < * * * < t-n < j3 i

{7(fj) - j — 0, .. n} = {z_kt : k,l = 0, .. .,5}.

Stąd, uwzględniając (3), mamy (7(^+1) — 7 (t^) j > Ó/s. To wraz z (2) daje

E i-y(O) - 7(«,-0l > E = ^7^ > {S + 2)6 > L,

J-l    j— 1

co jest sprzeczne z (1).

3.2. KRZYWE I CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ    59

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 8. Pokazać, ze

- zofdz = { °_7ri tt-1,

gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie zq i promieniu r, a k G Z.

Rozwiązanie. Opis parametryczny dodatnio zorientowanego okręgu o środku w punkcie zq i promieniu r dany jest wzorem

7 : (0, 2tt) D t (—>• z_Q 4- r exp it G C.

Stąd i z określenia całki krzywoliniowej dostajemy

(1)

f (z — z₀)^kdz — f ir^fc+1 exp[(fc + 1 )it\dt —

Je    J o

r2n

ir^k+l / exp[(& + l)it]dt.

Jo

Łatwo zauważyć, że dla a G C^x marny [(1/a) cxp«t]^/ = exp at. Stą<i i z (1) dla k 7^—1 dostajemy

/»    j ^    27T

(z - z_Q)^kdz = -^Zr -~7 exp[(fc + l)tó] = 0.

7c    1)    o

Oczywiście z (1) dla = — 1 dostajemy

J (z — Z(J)~^ldz ~ 2iri.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 9. Pokazać, ze

(*)    / (z — zęjj^dz — 2iri,

JdQ

gdzie dQ oznacza dodatnio zorientowany brzeg kwadratu normalnego o środku w punkcie zq .

Rozwiązanie. Zaczniemy od obliczenia pewnej całki zwyczajnej potrzebnej czterokrotnie w dalszej części rozwiązania. Mamy

J

7T .

-1 - i + 2t ^_ 2^l'

a)

’^Ł 2 dt