S6300953

Uwaga. Maioa pokazać, że    + n] — n dla n£N.

b) Zauważmy najpierw, że -1 < cosn $ 1 dla każdego n e N Stąd mamy oczywiste

nserownosci

a r-

3"

3 ” -f 1

(5 -4- cosn)'

dla każdego nfN Ponieważ

lim    =0 oraz lim 2    =2-0 = 0,

więc z twierdzenia o trzech ciągach mamy

3“ + 1

lim

0.

n-oo (5 + cos n)"

c) Zauważmy najpierw, że 0 ^ sin² n ^ 1 dla każdego n € N. Stąd

0 + 4n sin² n + 4n ^ 1 + 4n _Jt_ , .

J. —r-:— S- -- dla każdego n € M.

3n - 1

3n - 1

3n - 1

Ponieważ

.. 4n 4    ..    1 + 4n 4

hm --- = - oraz hm --- =

n-*oo OH — 1 O    n-*oo 071 — 1    3 więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

lim

n—»oo

sin² n + 4n 4

3n - 1

d) Zauważmy najpierw, że dla każdego n € N mamy

5 = 70 + 0 + 5" ^ 73" + 4" + 5" s$ To" + 5" + 5" = 573.

Ponieważ lim 5 = 5 oraz lim 5 73 = 5, więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

n—*oo    n—*oo

lira 73" + 4" + 5" = 5.

n—»oo

e)    Dla każdego n ^ 3 spełnione są nierówności 1 ^ vn + 3 $ \/n + n = 72 • 7ⁿ- Ciągi ograniczające badany ciąg są zbieżne do 1. Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że ciąg ten jest zbieżny do 1.

f)    Dla każdego n ^ 2 prawdziwa jest nierówność n² ^ n + 1. Zatem spełnione są nierówności 1 ^ Vń+T ^ "Tn². Ciągi ograniczające badany ciąg są zbieżne do 1. Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

lim "\/n+"T = 1.

n—*oo

g) Zauważmy najpierw, że dla każdego k € N prawdziwa jest nierówność --- < 1

_u    k + 1

Mamy zatem