chądzyński3

64 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

gdzie M_n oznacza kres górny \h{z)\ dla z leżących na łamanej I

[■ZIm ^2m ^3n]-    \

Pozostaje oszacować M_n. Zauważmy, że    |

Z (10) wynika, że funkcja h jest ilorazem dwóch wielomianów, przy | czym, w myśl założenia, wielomian w liczniku ma stopień mniejszy niż | wielomian w mianowniku. Ponadto wielomiany w liczniku i mianown- | iku po prawej stronie (10) są parzyste, a więc ich stopnie są również j: parzyste. To daje, że wielomian w liczniku prawej strony (10) ma | stopień co najmniej o 2 mniejszy od stopnia wielomianu z mianownika % w prawej strome (10). W konsekwencji istnieje stała D > 0 taka, że | dla dostatecznie dużych \z\ mamy j2rj²|ń(.z)j < D. Stąd dla dostate- | cznie    dużych n dostajemy    |

1    I

M_n <D(n + ~)-'².    I

l-Tfenl < 2(2?r + 1 )CD(n + —) ².

Stąd    i z    (9)    i

Z powyższego oszacowania dostajemy lim_n__+co A^_n — 0. To kończy rozwiązanie.

ROZDZIAŁ 4

Funkcje holomorficzne

4.1. Funkcje holomorficzne

Zadanie 1. Niech G C C będzie obszarem i niech f : G —»■ C będzie funkcją holomorficzną. Pokazać, ze funkcja f jest stała w obszarze G dokładnie wtedy, gdy ma w G pochodną tożsamościowo równą zeru.

Rozwiązanie. Oczywiście, jeśli funkcja / jest stała w G, to ma pochodną tożsamościowo równą zeru w G.

Odwrotnie, niech / ma pochodną tożsamościowo równą zeru w G. Ustalmy punkt zq G G. Weźmy t.era.z dowolny punkt z £ G. 2 własności 1.6.1 wynika, że istnieje łamana zorientowana L o początku w punkcie z₀ i końcu w punkcie z przebiegającą w G. Wtedy funkcja / jest funkcją pierwotną zera w Giną mocy twierdzenia 1.20.2

° = J f'(w)dw = f(z) - f(zo).

Stąd dla dowolnego z € G mamy f(z) = /Uo).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech G C C będzie obszarem i f : G —► C funkcją holomorficzną. Pokazać, ze jeśli funkcja R,e / jest stała w G, to również funkcja f jest stała w G.

Rozwiązanie. Niech r- Re2.y = lm2 dla zGC oraz u —Re/ i v = Im/. W dalszym ciągu rozwiązania będziemy utożsamiać K² z €, przyporządkowując punktowi (x,y) G R² punkt z = x + iy G €.

Funkcja / ma pochodną w każdym punkcie z £ G. Z założenia u'_x(z) — 0 i u'_y(z) = 0 i w konsekwencji z twierdzenia 1.10.1 mamy f'(z) = 0 dla dowolnego z e G. Stąd, na mocy zadania 1, funkcja / jest stała w G.

To kończy rozwiązanie.    □

65