CCF20090319059

68 Całkowanie f

gdzie u = 2n/T, a T oznacza okres obrotu koła. Liczymy pochodne

dx    dy

— = -rusinwt    — = ru cos ut

dt    ’    dt

i po skorzystaniu ze wzoru (3.16) mamy

Otrzymaliśmy zatem znany wzór na długość okręgu.

b) Punkt na obwodzie toczącego się koła porusza się po cykloidzie, którą opisują równania

x = r{ut — sin ud), y = r(l — cos ut).

Po obliczeniu pochodnych

dx    dy

— = ru( 1 — cos ut),    — = ru sm ut

dt ^v    h    dt

i wstawieniu ich do wzoru na długość łuku otrzymujemy

a różniczkę pracy dW mo można zatem wyliczyć za

= mgr [sin p

4. Wyznaczyć moment ł> mieniu R, obracającego a

Rozwiązanie. Moment : ■=

gdzie r oznacza odlegto>: zadaniu różniczka dm jt. wnętrznym r i grubość: ?: o wysokości H, to z prop<

wyznaczamy

i po podstawieniu otri>«

Moment bezwładności -a

Jak widać, długość łuku cykloidy jest cztery razy większa od jej średnicy.

3. Jaką pracę trzeba wykonać, by kamień o masie m wepchnąć na szczyt czaszy kulistej o promieniu r, jeśli współczynnik tarcia wynosi fil

Rozwiązanie. Siła, jaką musimy działać na kamień znajdujący się w punkcie opisanym kątem <p (y> - kąt ostry, jaki tworzy styczna do toru z pionem), jest równa

F(ip) = mg cos (p + mg\i sin (p,