64
Całkowanie
Historycznie, symbol J , będący zmodyfikowaną literą 5, oznaczał sumowanie nieskończenie wielu składników postaci y{Ax{, zwanych elementami pola (zob. rys. 24).
Całka oznaczona jest granicą sum o rosnącej liczbie składników, tzn.
Inne własności całki < wzory (3.7) - (3.12).
lim V yiAx{.
n—
Przykłady
1. Obliczyć całkę ona
i=1
Rozwiązanie. Licz** nice całkowania. kCa (x + l)2. Po zasi
Tak więc
/
Jeśli więc w przedziale (a, b) funkcja /(x) jest nieujemna, to całka oznaczona
rb
_ ' - J
r- —
dx
jest równa polu obszaru ograniczonego łukiem krzywej y = /($), osią Ox oraz prostymi x = a i x = b, jak widać na rysunku 25. Jeżeli zaś w przedziale (a, b) funkcja f(x) jest ujemna, to analogiczne pole jest równe
- f f(x)dx.
J a
Zawsze więc pole określonego wyżej obszaru można wyrazić całką oznaczoną
/ \f{x)\dx.
J a
Łatwo sprawdzić, że dla całki oznaczonej prawdziwe są następujące wzory:
2. Obliczyć pofe oka V = x2-
Rozwiązanie. SzAi przecięcia r:: -' -ustalić granice ca£EW wiązaniu układa ión
y = z2.
otrzymujemy xi = —1 kane pole 5 jes: cinkiem AB minns ] mentem parabol (ad
5 = £ :
=