chądzyński8

54 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ

Zadanie 2. Niech 7 : (a, p) —> C będzie opisem parametrycznym | krzywej regularnej F oraz niech f : |F[ —► C będzie funkcją ciągłą. I Pokazać, ze dla dowolnego e > 0 istnieje 5 > 0 taka, ze dla każdego | podziału a — to < ti <••• < t_n_₁ < t_n — j3 na części o długościach § mniejszych niż 5 i dla dowolnego doboru punktów poślednich Oj g | (tj-utj). mamy    |

L

f(z)dz - ^/(Cj)Azj

i-i

gdzie — 7(Oj), A27 — 7 (i,) - 7fe-i) (patrz uwaga 1.19.1).

Rozwiązanie. Na mocy własności 1.18.1 funkcje (o, /3) B t f(y(t)) G C i (ar, 0) 9 ( (-+ y(t) g C są całkowalne. Wówczas, na mocy zadania 1 zastosowanego do tych funkcji, dla dowolnego £ > 0 istnieje 5 > 0, że dla każdego podziału a = to < fi < - • - < t_n-1 < t_n = (3 na części o długościach mniejszych niż 5 i dla dowolnego dobom punktów pośrednich 0, G    mamy

L

f{z)dz -    - 7fe-i))

'^r

To kończy rozwiązanie.

< ć.

□

Zadanie 3. Niech będzie dana funkcja ciągła f : (a,b) —» C i niech A : {a, /?) —+ {a, b) będzie funkcją klasy C¹. Pokazać, że jeśli przyjmiemy f(t)dt — 0 dla c G (a, b) i f(t)dt = — f(t)dt dla c, d G (a, b) i c < d, to

rMP)    r&

(*)    / f(t)dt= / /(A(r))A'(r)dr.

J A(a)    Ja

Rozwiązanie. Z analizy rzeczywistej wiadomo (patrz np. [Sp], twierdzenie 11.5.5), że

rKP)    rP

’\{a)

fW)    fP

/ (lmf){t)dt = / (Im/)(A(r))A^/(r)dr. J X(a)    Ja

/    (Ref){t)dt= / (Re/)(A(r))A^,(r)dr

J X(a)    Jot

Mówimy, że funkcja f jest kawałkami ciągła w przedziale (a,b), gdy istnieje podział a — to < t\ < • • • < £_n_i < t_Tl — b przedziału (a, b) taki, że w każdym podprzedziałe {tj-±,tj} istnieje fmikcja ciągła 9j taka, że

Zadanie 4. Niech będzie dana funkcja f : (a, b) —> C kawałkami ciągła i niech A : (a,/3) —»• (a, 6) będzie monotoniczną surjekcją klasy C^l. Pokazać, że jeżeli A jest funkcją rosnącą, to

Stąd i z określenia całki zwyczajnej (patrz § 1.1.8) dostajemy (*).

To kończy rozwiązanie.

□

«

jeżeli za,s A jest funkcją malejącą, to

Rozwiązanie. Zauważmy, że dla każdego t £ {a, b) zbiór A ¹ (t) jest

domknięty i spójny. Istotnie, z ciągłości A wynika domkmętość tego zbioru. Trzeba zatem pokazać jego spójność- Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją trzy punkty ti,t₂,t₃ € (n, fi) takie, że Ti < r₂ < T3, ti,t₃ € A"¹^) i r₂ ^ ANiech na przykład A(t₂) < A(ri) = A(r₃). Wówczas dla funkcji rosnącej A mielibyśmy A(t₂) < A(ri), a dla funkcji malejącej A(r₂) < A(t₃), co prowadzi do sprzeczności. Reasumując, dla każdego t £ {a, b) zbiór A~^l(t) jest punktem albo przedziałem domkniętym.

Niech będzie dany podział a — to < t\ < • ■ * < t_n~\ < t_n — b przedziału (a, b) taki, że w punktach    funkcja /

jest nieciągła. Rozważmy zbiór Z — A^_1({ti,...,    W myśl

poprzedniego, zbiór Z jest sumą n — 1 punktów lub przedziałów domkniętych. W konsekwencji istnieje taki ciąg a = tq < Tj < t₂ < ■'* < n 2n—2 < T2n-1 — /i? Że Z — UjL]¹ (^r2j-li ^r2j) •

Z zadania 3 mamy