chądzyński4

66 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE

Zadanie 3. Niech G C C będzie obszarem i niech /:(?—* C będzie [ funkcją holomorficzną. Pokazać, że jeśli funkcja |/| jest stała w G, f to również funkcja f jest stała w G.    |

Rozwiązanie. Z założenia istnieje stała c > 0 taka, że dla dowolnego | z G G mamy j/(z)|² — c. Gdy c. = 0, rozwiązanie jest oczywiste. | Załóżmy teraz, że c > 0. Niech x = Rez,y = Im z dla z € € | oraz u — Ref i v — Imf. Wówczas    |

(1)    v²(x, y) + v²(x, y) — O 0.    |

W dalszym ciągu rozwiązania będziemy utożsamiać K² z C, przy- | porządkowując punktowi (x, y) G K² punkt z — x + ty G P. Stąd | dla każdego z G C mamy    I

(2)    v!_x(z)u{z) + v'_x(z)v{z) - 0,    I

u'y{z)u{z) + v‘_y(z)v(z) = 0.

Dla ustalonego z układ równań

(3)    u':(z)X + v'_xC)Y -0,

u'_v(z)X + v'Jz)Y = 0

o dwóch niewda.domych X,Y ma w myśl (1) i (2) rozwiązanie riieze- [ rowe. Zatem, jak wiadomo z algebry liniowej, wyznacznik układu (3) | musi być równy zeru. Stąd vf_x(z)v'_y(z) — u'_y{z) v'_x(z) = 0.    \

Z drugiej strony, ponieważ funkcja / ma pochodną w punkcie { z twierdzenia 1.10.1 mamy \f’(z)\² — u'_T(z)v'_y(z) — u'_y(z)v'_x(z).

Reasumując, f'(z) — 0 dla dowolnego z G G. Stąd, na mocy • zadania 1, funkcja / jest stała w G.    jj

To kończy rozwiązanie.    □ ?

i

Zadanie 4. Niech f będzie funkcją holomorficzną w zbiorze otwartym | G C C. Pokazać, że dla każdego a G G takiego, że f{a) fi 0, istnieje ) otoczenie U_a punktu a i funkcja T holomorficzna w U_a, która jest \ gałęzią logarytmu funkcji f i T^f = /'//.    i

Rozwiązanie. Połóżmy K = {z G C : \z — f{a)j < |/(a)j}. Z ciągłości : funkcji / wynika, że istnieje otoczenie U_n punktu a takie, że t f(z) G K dla z G U_a-    ;

Ponieważ 0 ^ K, więc w myśl zadania 2.5.3, istnieje w K gałąź ; logarytmu funkcji tożsamościowej. Oznaczmy ją L. Wówczas T := ; L o f jest. gałęzią logarytmu funkcji / w [J_a. Z twierdzenia 1.13.3 _;

i wniosku 1.9.2 wynika, że funkcja T jest różniczkowalna w U_n. Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej mamy T' — (L o /)' = /'//.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Pokazać, że jeśli funkcja f jest holomorficzna w zbiorze otwartym GcC oraz istnieje w tym zbiorze gałąź logarytmu funkcji f, to jest ona funkcją holomorficzną i jej pochodna jest równa f/f.

Rozwiązanie. Niech będzie gałęzią logarytmu funkcji /, zatem dla każdego punktu a £ G mamy f(a) fi 0. W myśl zadania 4. istnieje otoczenie U_a punktu a i funkcja T holomorficzna w U_a, która jest gałęzią logarytmu funkcji / i T' — f jf. Na mocy twierdzenia 1.13.2 funkcja T różni się w U_a co najwyżej o stałą od funkcji T. Zatem $ jest funkcją różniczkowalną w U_a i T' — /'//.

Ponieważ holomorficzność ma charakter lokalny, wystarczyło ograniczyć rozwiązanie do otoczenia U_a.

To kończy rozwiązanie.    '    □

Zadanie 6. Pokazać, że jeśli funkcja f jest holomorficzna w zbiorze otwartym G C C oraz istnieje w tym zbiorze gałąź n-tego pierwiastka z funkcji f, to jest ona funkcją holomorficzną.

Rozwiązanie. Niech T będzie gałęzią n-tego pierwiastka z funkcji /, zatem dla każdego punktu a £ G mamy /(a) fi 0. W myśl zadania. 4, istnieje otoczenie U_a punktu a i funkcja T holomorficzna w U_a, która jest gałęzią logarytmu funkcji /. Łatwo sprawdzić, że funkcja P := exp(l/n)T jest gałęzią n-tego pierwiastka, z funkcji / w U_a. Z twierdzenia 1.13.3 i wniosku 1.9.2 wynika, że fimkcja P jest różniczkowalna w U_a. Na mocy zadania 2.5.6 istnieje stała c taka;, że = cP. Zatem T jest również funkcją różniczkowalną w U_a.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 7. Niech h będzie funkcją określoną w otoczeniu U C <C punktu Zq i niech f będzie funkcją określoną w otoczeniu O, C C punktu Wq — Ii(zq) oraz h(U) C f2. Pokazać, że jeżeli funkcja h jest ciągła w punkcie z₀, funkcja f ma pochodną różną od zera w punkcie w₀ i

/ o h(z) — z dla z £ U,

(*)