Strona5

Rozwiązanie. Zadanie to rozwiążemy dwiema metodami:

Metoda I. Zauważmy najpierw, że powierzchnia S może być podzielona na dwa piaty powierzchniowe regularne S_t i S₂ (rys. 17.4) odpowiednio o równaniach:

(1)    S₂ e* \y = /o² — x²,    * (x_t:)eD\.

oraz'

(2)    s (y° —Vo¹ ~x²,    (r, 2)eZ>).

■I

gdzie obszar Z) jest w obu przypadkach tym samym prostokątem określonym nierównościami:

-n

Ośzśh.

D

' (3)

r= Jj (y + * + \'a' ~x’) <«■ = /, + /„

i

Zgodnie z uwagą 2 mamy:

. C⁴>

gdzie i

(5)    /.-H(r + * + /?^5)Ą

(6)

me-

Do wyliczenia całek (5) t (6) zastosujemy wzór na zamianę całki powierzchniowej zorientowanej na zwykłą całkę oznaczoną postaci (1.4'). W tym celu wyliczamy najpierw pochodne pierwszego rzędu funkcji (1). Mamy:

— .v

= . y, = o.

/o

! (7)    *

Analogicznie dla funkcji (2):

(8)    y* *=* .    — ~ -. y_t — 0.

ya² — x²

Z (7) i (8) wynika, że wyrażenie V1 + ?? + y'S jest jednakowe dla obu funkcji i wynosi:

«    smr+w=j/- +p~, -173=, •

Stosujemy teraz wzór (1.4') do całki (5), uw-zględniając przy tym (I) i (9). Otrzymujemy:

(10)    /,=*!$ (yflT^T² + z -j-    -X¹) ~r-^Q= dx dz =

_D    ya²-_x*

D

Z kolei stosujemy wzór (1.40-do całki (6), uwzględniając przy tym (2) i (9). Mamy:

<N)

h = i i (- 1V -"x - -f z 4- \ 'a- - x>) -T.    — dxdz

i‘    i a¹ — xⁱ

ÓJr - .v^J

\

=- dt dz.

Wstawiając (10) i (11) do (4), otrzymujemy:

/ i - ( J (y z -r V’ oⁱ — *^;) dS *= 2a $ j (l -r- —    "    - \ dx dr.

i    i>\    |.d²-JC²/

Obliczamy teraz całkę podwójna, biorąc pod uwagę, ie I) jest prostokątem określonym nierównościami (3):

*

*    4    *

. la jj j* z arc sin ~ j ! dr — 2xj jj (2a + nr) dr - ah (Aa ; tsA).

O    OD

Metoda IT. Powierzchnię. S określamy teraz rustrp-.ijącymt równaniami paratr.ctrycz* nymi:

x — a cos ę>, y = <7 sin <?,

02)

gdzie obszar J określony jest nierównościami:

O?)

f 0 < ę> ^ 2n i0<*CA.

lóla układu funkcji (12) tworzymy macierz, typu (!.(!):

' ?x	f V	(Z				-
et?	<9			— a s in p	a cos ;j	0
<:x rr	<’V rz	er er		0	0	1

Następnie wyznaczamy pod wyznaczniki tej macierzy. Mamy:

<-r	e ~	•	i a cos v 0 !
e<?	<9	_
ey	Lr		0 ! i
Lr	Lr		1

! ! e<f	Lx		o	1 — a sin p |
| Lr	?x Oz		I	0

? 5