Matematyka 2 9

208 111 Rachunek całkowy runią i wiciu zmiimmxrh

TWIERDZENIf 8.2 (warunki wystarczające całkowalności).

(1)    Jeżeli funkcja fjest ciągła na regularnym obszarze V, to jest całkowalna na tym obszarze.

(2)    Jeżeli funkcja fjest ograniczona na rcgulumym obszarze V. a jej punkt) nieciągłości leżą na skończonej liczbie piatów powierzchniowych o równaniach z- z(x,y), y = y(x,z) lub x = x(>,/) zawartych w obszarze V. to funkcja ta jest całkowalna na obszarze V.

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI POTRÓJNEJ. Niech p będzie ciągłą inicujcmną funkcją na regularnym

obszarze VcR ' Niech p(x,y,z) oznacza gęstość masy w punkcie (x,y,z) tego obszaru Podamy definicję masy obszaru przestrzennego V.

Podzielmy obszar V tak, jak w definicji całki potrójnej. Iloczyn p(x,_ty,,Zi )AVj, i = 1*2,—.n

jest równy masie jednorodnego obszaru V, o objętości AV i stałej gęstości p(x_i,y_i,ź_i) i jest w przybliżeniu równy masie obszaru V o objętości AV₍. Zatem sumę

możemy przyjąć za wartość przybliżoną masy obszaru V.

Naturalnym jest więc przyjąć następującą definicję masy obszaru Vc R³. którego gęstość w każdym punkcie (x,y.z)jcst równa p(x.y.z):

der ⁿ

m = lim Yp(x,.y_i.ż_I)AV₁ .

"—w

Ponieważ p jest funkcją ciągłą na obszarze V, więc granica ta istnieje i

jest równa całce potrójnej JJjp(x_ty,ż)dxdydz . Stąd wynika następująca

v

interpretacja fizyczna całki potrójnej:

Całka potrójna funkcji p c i ąg ł ej i nieujemnej na

regularnym obszarze V c R' jest równa masie tego obszaru V, którego gęstość w każdym punkcie (x,y.z) jest równa p(x,y,z):

JJJp(x.y.z)dxdydz = m

(8.1)

W szczególności, gdy p(x,y.z) = l dla (x.y,z)eV, m=HV|.

Zatem

JJJdxdydz ==|V|.

v

Dla przykładu: a) całka JJJdxdydz . jeśli V= {(x.y,z): x* + y^: ♦ r ^9) jest v

równa objętości koli o środku (0,0,0) i promieniu 3; zatem

jj"jdxdyiłz--yn(3)³ -36n .

V

b) całka JJjdxdydz jeśli V=((x.y.z): 0Sz<6-2x-3y, x,yZ0) jest równa v

objętości ostrosłupa o wysokości równej 6 i polu podstawy ^32 = 3 (rys 1.7, ro/dz, III);

zatem

JJJtbtdydz=-6-3=6.

OBLICZANIE CALKi POTRÓJNEJ. Całki potrójne obliczamy korzystając z następującego twierdzenia:

TWIERDZENIE 8.3. Jeżeli f jest funkcją ciągłą na obszarze V normalnym względem płaszczyzny 0xy:

V = {(x,y,z)eR³: k(x.y)<z< l(x,y) a (x,y)eD}.

to

(82)

Kx,y»

JJJf( x. y. z )dxdydz = JJ[ Jf(x,y,z)dz]dxdy.

V    i) M«.y)

Jeśli ponadto obszar D jest normalny względem osi 0x: D={(x,y): a^x<b. g(x)<y<h(x)}, to

b htx) l(*.y>

|{J^(x.y.z)dxdydz= J{ |f jY(x,y,z)dzJdy}dx.

v    a g(x) M*.yl