chądzyński8

92 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

i w myśl poprzedniego

(9)

Z (1) wynika, że C^x jest, pierścieniem zbieżności rozwinięcia funkcji / w szereg Laurenta o środku 0.

To kończy rozwiązanie.

□

5.3. Funkcje ineromorficzne w punkcie

Funkcji meromorficznej w punkcie a £ C, która znika tożsamości owo w pewnym sąsiedztwie tego punktu, przypisywać będziemy w punkcie a rząd równy -f co z analogicznym jak w § 1.32 oznaczeniem.

Zadanie 1. Niech funkcje f, g będą m.eromorficzne w punkcie a. Pokazać, ze    i

(a)    jeśli ord₀/ — +oc, to funkcja f znika tożsamościowa w

pewnym. sąsiedztwie punktu a,    I

(b)    funkcja fg jest meromorficzna w punkcie a i ord_a fg — ord _af + ord_a g,

(c)    jeśli onk g 6 Z, to funkcja f/g jest meromorficzna w

punkcie a i ord« f/g — ord_a / — ord_u g,    _;

(d)    funkcja f jest meromorficzna w punkcie a i przy dodatkowym, założeniu ord_a f 0 zachodzi wzór ord_a /' = ord_a f —

(e)    wzór w (d) nie jest prawdziwy bez dodatkowego założenia.

Rozwiązanie, (a). Przypuśćmy przeciwnie, że funkcja / nie znika w żadnym sąsiedztwie punktu a. Wówczas (patrz § 1.32) istnieje liczba l € Z taka, że ord_a / = Z, co jest sprzeczne z założeniem.

(b). Jeśli ord_a/ “ +oo lub ord_a<y = +oo, to oczywiście funkcja fg jest meromorficzna w punkcie a i wzór w (b) zachodzi. Niech ord_af — k G Z i ord„g = IgZ. Wtedy na mocy twierdzenia 1.32.1 istnieją funkcje fi,gi holomorficzne, nigdzie nieznikające w pewnym otoczeniu kł punktu a i spełniające warunki (1) f(z) = (z - a)^kfi(z), g(z) - (z - afg^z) dla 2 € H \ {a}.

Stąd

(2)    f(z)g(z) - (z - a)^k+l h(z)gi{z) dla z €Q\ {a}.

Z (1), (2) i twierdzenia 1.32.1 wynika, żc funkcja fg jest meromorficzna w punkcie a i że wzór w (b) zachodzi.

(c) . Bezpośrednio z twierdzenia 1.32.1 wnioskujemy, że funkcja 1 jg jest meromorficzna w punkcie a i że ord_a 1 jg — — ord_ag. Stąd i z (b) dostajemy (c).

(d) . Jeśli ord_a/ ~ +oo, to oczywiście funkcja /' jest meromorficzna w punkcie a i wzór w (d) zachodzi. Niech ord_a / = k G Z. Wtedy, na mocy twierdzenia 1.32.1, istnieje funkcja fi holomorficzna, nigdzie nieznikająca w pewnym otoczeniu O punktu a i spełniająca warunek f(z) — (z — a)^kfi(z) dla z6fi \ {a}.

Dla k — 0 funkcja f jest oczywiście meromorficzna w punkcie a.

Dla k 7^ 0 mamy

(3)    f'(z) = k(z - a)*^_1/i(z) + {z- a)^kf[ {z)

= (z — a)^k~^lh(z),

gdzie h(z) = kfi(z) + (z — a)f[(z). Funkcja h jest holomorficzna w H i h(a) — kfi(a) 4 0. Stąd, z (3) oraz z twierdzenia 1.32.1 wynika, że funkcja f jest meromorficzna w punkcie a i że ord_a f — k — 1.

(e) . Wystarczy zauważyć, że dla / : C 32    1 + z G C marny

°rd_o/ = 0, ordo /^; — 0.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Pokazać, ze jeżeli funkcje f,g są meromorficzne w punkcie a, ord_af    0 i ord₀y 0,+oo, to

(*)

lim M - lim 44

^z-^a9[z) ^z^^ag{z) przy czym obie granice w (*) istnieją (reguła de 1’Hospitala).

Rozwiązanie. Rozważmy cztery przypadki.

(a). Niech ord_a. / = -foo. Wtedy z zadania l(c) mamy OYÓ._af/g — °rd_a / — ord_a — -koo. Stąd

(i)

lim 44 = O-g(z)

Z zadania l(d) mamy ord_a /' — ord_a / — 1 = +oo i ord_a g' = ord* g — 1 if +oo. Stąd i z zadania l(c) mamy ord_a f/g' — ord_a f — ord_ap' =