chądzyński7

90 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

co daje (*).

Odwrotnie, załóżmy teraz, że zachodzi (*) i /(z) = ^Z°=o ^anZⁿ. Stąd, na mocy nierówności Cauchy’ego - wzór (1.30.2), dla dowolnego n e Ni dowolnego R > 0 dostajemy

Stąd i / tego, że

.. M(l + R^k) _{o Jl}

lim --- = 0 dla n > k,

R^+oo Rⁿ

□

dostajemy a_n — 0 dla n > k. To kończy rozwiązanie.

Zadanie 8. Pokazać, że C jest ciałem algebraicznie domkniętym, tzn. że każdy wielomian stopnia dodatniego ma w C co najmniej jedno zero.

Rozwiązanie. Przypuśćmy przeciwnie, że wielomian /(z) = 0$ + ■ ■ • + ćiaz^k, a* / 0 nie ma zer w C. Wówczas funkcja 1// jest całkowita. Ponadto 1/ f [z) —> 0, gdy z —+ oo. Zatem istnieje taka liczba R > 0, że dla \z\ > R. mamy |l//(z)| < 1. W kole domkniętym I\ — {z £ C : |zj < i?} funkcja 1 // jako ciągła jest ograniczona przez pewną, stałą M > 0. W konsekwencji funkcja 1// jest ograniczona przez max (L M) i na mocy twierdzenia Liouville'a 1.30.2 jest stała. Tym samym również fimkcja / jest stała, co prowadzi do sprzeczności.

To kończy rozwiązanie.    □

5.2. Rozwinięcie w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu

Zadanie 1. Znaleźć rozwinięcie funkcji f : C^x 9 z i—> exp (z + -) £ C w szereg Laurenta o środku Zo = 0. Określić jego pierścień zbieżności.

R.ozwiązanie. Funkcja / jako holomorficzna w C^x, w myśl twierdzenia 1.29.1, rozwija się w szereg Laurenta postaci

(i)

Ponieważ /(1/z) = /(z) dla z £ C^x, więc z -własności 1.28.1 dostajemy, że = a_Tl dla n € Z. Wystarczy zatem obliczyć a_n dla n > 0. Niech C będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o środku

5.2. ROZWINIĘCIE W SZEREG LAURENTA W SĄSIEDZTWIE PUNKTU 91

w punkcie 0 i promieniu R > 0. Wtedy na mocy twierdzenia 1.28.2 mamy

(2)    a_n —

Z zadania 5.1.1 expz =

1

2tri

— ~-dz.

„ _c zⁿ⁺¹

hz^k dla zgC Stąd

(3)

⁰⁰ i    i

^{dla z6C}’

k=o

Zauważmy, że szereg (3) jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny na

|Cj. Istotnie, dla \z\ = R mamy + 1)*| < ^(R +

— ^e*p(i? + ^). Stąd i z (2), na mocy wzoru dwumianowego Newtona i własności 1.19.5, dostajemy

oo / fc

(4)

Połóżmy

(5)

^a"^_ EE EZ

fc=0

f    z^-^ ]

•' 2« }_c ) ■

oraz

^;,* = EE

o

Pokażenry teraz, że

f!(fc - 0

f

! 27ri y_c

„fc—2l~n—1

dz.

(6)

bk =

_ / _s\(n+_sy.» g^dy * = n + 2s dla pewnego s € N,

0, gdy ł^n + 2 s dla każdego s G N. Istotnie, z zadania 3.2.8 dla dowolnej liczby ?" € Z mamy . .    1 f _rj f 1 dla r — —1,

^(,) 2riJ_c^Z dZ~l ^{0 dla} ^-1.

Gdy fc — n 4- 25 dla pewnego s £ N, to w myśl (7)

7i“f“ 2s    i    i    /*

b_h = V ---i-—- / ^n+2-a-n-¹^ ^

d(n + 2s — /)! 27tź J_c

1

s!('n -P <$)!

,Gdy k ^ n + 2s dla każdego 5 U N, to w myśl (7) wszystkie całki w :(5) są równe zeru i bk = 0.

Z (4), (5) i (6) dla n 6 N dostajemy

<8)

s—0

-sl(n + 6‘)!