str061 (5)

5 9. SZEREG LAURENTA I PUNKTY OSOBLIWE 61

Z uwagi na wzory (11) i (12) obszar zbieżności naszego szeregu jest pierścieniem (13)    ł<M<2.

Aby znaleźćjsumę /(z) danego szeregu, przyjmijmy

(14) ]

Mamy wówczas

(15) gdzie

(16)

/i(z)

/(z)=/₁(z)+/₂(z),

n = 0

(17)

El l l

&j"~2^ ⁺ (2ź)^{2 +} "'

Z podwójnej nierówności (13) mamy

(18)

<1 oraz

<1.

Uwzględniając pierwszą z nierówności (18) we wzorze (16), a drugą z nierówności (18) we wzorze (17), mamy odpowiednio

1

(19)

/.(z) =

1

z 2—z ’ 1 —

2

/z(z) =

2z

1

1 2z —1 1--

2z

Podstawiając związki (19) do wzoru (15), mamy

3z

2—z 2z —1    (2 — z) (2z — 1)

1

m = J-+ ¹

w pierścieniu 1 < |z| < 2.

Zadanie 9.2. Znaleźć rozwinięcie funkcji /(z) =

(z-l)(z—2)

Rozwiązanie. Zauważmy, że funkcja nasza jest holomorficzna w rozważanym pierścieniu. Wobec tego, zgodnie z twierdzeniem Laurenta, rozwija się w tym pierścieniu w szereg Laurenta. Obliczenie współczynników według wzorów (9.7) byłoby uciążliwe. Zręczniej jest postąpić następująco: Rozkładamy najpierw naszą funkcję na ułamki proste, mamy wtedy

1 1

(1) /(*)-—=---1 •

z—2 z—1