0490

491

§ 3. Styczność krzywych

Załóżmy teraz, że na każdej krzywej rodziny są punkty charakterystyczne. Nasuwa się pytanie, co można powiedzieć o miejscu geometrycznym tych punktów. Jeżeli to miejsce geometryczne jest krzywą postaci (2), to funkcje ę(a) i wia) występujące w jej równaniach muszą spełniać układ (9), a więc otrzymuje się je wśród rozwiązań tego układu względem x i y. Dalej, wszystkie punkty tego miejsca geometrycznego muszą wówczas spełniać równanie (10), a więc miejsce to zawiera się w krzywej wyróżnikowej.

Zatem o ile istnieje miejsce geometryczne punktów charakterystycznych, to jest ono (w całości lub częściowo) albo obwiednią, albo krzywą, na której leżą punkty osobliwe.

Łatwo się przekonać, że w przykładach 1), 2), 4) i 5) z poprzedniego ustępu miejsce geometryczne punktów charakterystycznych pokrywa się z obwiednią. Jest to w pewnym sensie przypadek ogólny. Natomiast w przykładzie 7) (a) to miejsce geometryczne jest tylko zbiorem punktów osobliwych, a w przykładach 3) i 7) (b) krzywe rodziny w ogóle się nie przecinają, chociaż obwiednia istnieje.

241. Rząd styczności dwóch krzywych. Rozpatrzmy dwie krzywe styczne w punkcie M₀.

Jeżeli krzywe dane są równaniami y=f(x) i Y=g(x) i punkt M₀ ma odciętą x₀, to z równości rzędnych i współczynników kierunkowych stycznych wynika, że

/(*<>) = 3 (*o) f'(x₀) = g'(x₀).

Aby scharakteryzować wzajemne położenie obu krzywych w otoczeniu punktu M₀, wybierzemy na nich punkty M i N o odciętej x (rys. 148) i o-kreślimy rząd nieskończenie małego odcinka

NM— Y—y=g(x)—f(x)= ę(x)

w stosunku do nieskończenie małej x—x₀. Jeżeli rząd ten jest równy n+1 (lub większy niż n+1), to mówimy, że krzywe mają w punkcie M₀ styczność rzędu n( lub rzędu wyższego niż n).

W przypadku styczności jest jak wiemy

<P Oo) = 9 (^xo) ~f(x o)=0,    ę\x₀) = g'(x₀) -f'(x_Q)=0.

Załóżmy, że w punkcie x₀ funkcje / (x) i g (x) mają pochodne aż do rzędu n +1 włącznie i przy tym

/"(xo) = <T(*₀),    •••>    f^M(x₀)=g^M(x₀),

tak że

<p"(x_o) = 9"(x_Q)-f"(x₀)=0,    .... <p™(x_o)=g⁽ⁿXx_o)-f^M(x_o)=0.

O wartościach pochodnych /⁽"^+I)(x₀) i g^in+lHx₀) nie robimy na razie żadnych założeń. Stosując do funkcji ę(x) wzór Taylora z resztą w postaci Peana [124, (10a)] otrzy-