0520

521

§ 5. Krzywizna krzywej płaskiej

Wyobraźmy sobie teraz, że na ewolutę — od końca Q (rys. 163) w stronę początku P — nawinięta jest wiotka i nierozciągliwa nić schodząca z ewoluty w punkcie początkowym P wzdłuż stycznej i kończąca się w odległości c od tego punktu w odpowiednim punkcie A ewolwenty. Odwijajmy tę nić z ewoluty w ten sposób, aby była stale napięta. Niech QNM będzie dowolnym jej położeniem. Ponieważ NM jest większe od PA-c akurat o długość łuku w/W=a, więc NM jest promieniem krzywizny R i tym samym punkt M leży na ewol-wencie.

A więc ewolwenta może być utworzona przez odwijanie nici nawiniętej uprzednio na ewolutę (¹). Innymi słowy, ewolwenta jest trajektorią punktu A prostej AP opisywaną przez ten punkt, gdy prosta toczy się bez ślizgania po ewolucie.

Na zakończenie wyprowadzimy jeszcze wzór na promień krzywizny p ewoluty.

Oznaczając przez P kąt nachylenia stycznej do ewoluty do osi x mamy oczywiście

(14)    p — a±in,    zatem dp = da.

Wobec tego (patrz (13) i (14)):

(15)

do_ dR dp da

ds dR    dR

— • —=R---

da. ds    ds

Należy pamiętać, że wzór ten jest prawdziwy, gdy a rośnie razem z R; w przeciwnym razie trzeba byłoby z prawej strony napisać znak minus.

Jeżeli przyjmiemy, że o rośnie razem z s, to otrzymany wzór można będzie napisać w postaci

p = R

(16)

dR

ds

obejmującej zarówno przypadek dR/ds> 0 (gdy R rośnie wraz z s), jak i przypadek dR/ds< 0 (gdy R maleje ze wzrostem s).

256. Znajdowanie ewolwenty. Widzieliśmy, że każda ewolwenta może być odtworzona ze swej ewoluty przez odwijanie nici z ewoluty lub — co w istocie jest tym samym — przez toczenie prostej po ewolucie bez ślizgania.

Udowodnimy teraz twierdzenie odwrotne: jeżeli prosta toczy się bez ślizgania po danej krzywej, to trajektoria dowolnego jej punktu jest ewolwenią tej krzywej. Tym samym każda krzywa ma nieskończenie wiele ewolwent.

Niech krzywa PN (rys. 164) będzie przedstawiona równaniami parametrycznymi

ę=cp(t),    rj = t//(t),

przy czym funkcje ę i y/ niech mają ciągłe pochodne do rzędu drugiego włącznie. Załóżmy także, że na rozpatrywanym łuku krzywej nie ma punktów wielokrotnych r w ogóle osobliwych. Łuk a krzywej będziemy liczyli od punktu P.

(‘) Stąd pochodzą terminy ewolwenta i ewoluta oznaczające rozwijającą i rozwiniętą.