0508

509

§ 5. Krzywizna krzywej płaskiej

Wiemy, że s'_t=-\! x',² +y',² [248, (10)], trzeba zatem znaleźć tylko aj. Ponieważ [106, (11)]

„ y_t ..    _t y,

tga=—, czyli a=arctg— a,    x,

więc

(4)

a,=

x',y',2-x^y_t' x'_ty"2-x'_tiy;

/v''²

1 +

W

.tl

xl²+yl^z

Podstawiając do wzoru (3) wartości s'_t i aj, otrzymujemy ostateczny wzór

(5)

k =

x'_ly'_l2-x’_tL y,'

(xj²+yj²)³'²

Wzór ten jest wygodny do obliczania krzywizny, bo wszystkie występujące w nim pochodne łatwo jest obliczyć z równań parametrycznych krzywej.

Jeżeli krzywa dana jest równaniem y=f (x), to znaleziony wzór przybiera postać

(5a)

(l+/²)^3/2

Wreszcie, jeżeli dane jest równanie biegunowe krzywej r—g (0), to jak zwykle można przejść do przedstawienia parametrycznego we współrzędnych kartezjaóskich przyjmując 6 jako parametr. Korzystając z (5) otrzymujemy wówczas

(5b)

k =

r² + 2rJ² — rr'gx (r² + r¹²)³¹² •

251. Koło krzywiznowe i promień krzywizny. W różnych badaniach okazuje się, że wygodnie jest zastąpić w przybliżeniu krzywą w otoczeniu rozpatrywanego punktu przez okrąg mający tę samą krzywiznę, co krzywa w tym punkcie.

Będziemy nazywali kołem (‘) krzywiznowym krzywej w punkcie M taki okrąg, który

1)    jest styczny do krzywej w punkcie M,

2)    jest w otoczeniu tego punktu wypukły w tę samą stronę co krzywa,

3)    ma krzywiznę równą krzywiźnie krzywej w punkcie M (rys. 157).

Środek C koła krzywiznowego nazywa się środkiem krzywizny, a. promień tego koła — promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie.

Z definicji koła krzywiznowego wynika, że środek krzywizny leży zawsze na normalnej do krzywej w rozpatrywanym punkcie po stronie wklęsłości krzywej, to znaczy po stronie przeciwnej do tej, w którą krzywa jest wypukła. Oznaczmy przez k krzywiznę krzywej w danym punkcie. Ponieważ dla okręgu otrzymaliśmy w ustępie 250 zależność k = l/R, więc dla promienia krzywizny otrzymujemy teraz

(^l) Tutaj należy powtórzyć uwagę z notki na str. 493.