0510

511

§ 5. Krzywizna krzywej płaskiej

przy tym podkreślić, że we wszystkich przypadkach przy liczeniu luku na leży jako dodatni przyjmować zwrot krzywej odpowiadający wzrastaniu parametru t, x lub 6.

Najprościej można się o tym przekonać w przypadku przedstawienia krzywej równaniem nieuwikłanym. Tutaj (rys. 158) styczna ma zwrot w prawo, a więc normalna — w górę. Jeżeli y"j > 0 w rozpatrywanym punkcie — a tym samym ze względu na ciągłość i w jego otoczeniu — to krzywa jest wypukła w dół [143] i promień krzywizny R jest dodatni. Również ze wzoru (7a) otrzymamy dodatnią wartość R. Przeciwnie, jeżeli jest y'Ji<0, to krzywa jest wypukła w górę i promień R jest ujemny, co i w tym prz ypadku jest zgodne ze wzorem (7a).

To samo można pokazać dla pozostałych wzorów.

252. Przykłady.

1) Linia łańcuchowa

y—a cosh — a

(rys. 41 na str. 179). W tym wypadku (patrz ustęp 99, 28)):

J1 +;vi² =cosh —— '    aa

oraz

Wobec tego (patrz wzór (7a)):

Ponieważ tę samą wartość, jak łatwo sprawdzić, ma odcinek normalnej n=MN, więc otrzymujemy stąd następujący sposób wyznaczenia środka krzywizny C: odcinek normalnej MN (patrz rysunek) należy odłożyć na normalnej, lecz po przeciwnej stronie, zgodnie za zwrotem normalnej.

2) Asteroida x²ⁱ³ +y^zl3 = a^2>3 (rys. 116 na str. 451).

Pochodne y'_x i y'_xi można znaleźć nie rozwiązując równania względem y, tylko stosując metodę różniczkowania funkcji uwikłanej

x~^il3+y~^1/iy'*= 0,    czyli x^ll3y'+y^1,3 = 0,

skąd

Dalej

łx-²ⁿy'+ły-^2,3y'+x^il3y"=0,

a więc

2/3

2/3

3jcv 2/3