0516

§ 5. Krzywizna krzywej płaskiej

517

i wreszcie

27p

(ć-p)³ ■

A więc ewolutą paraboli jest parabola semikubiczna (rys. 160).

Rys. 161

Przykład 2. Znaleźć ewolutę elipsy x=a cos t, y = 6 sin t.

Jest tutaj

x'_t=— asinr, xli——acost,    y'_t=bcost,    y,'i= — 6s nt.

Podstawiając te pochodne do wzoru (10) otrzymujemy

bcost(a² sin²t+b² cos²/) a²—b²    ,

i—acost----cos t,

ab    a

n

t.

Są

to równania parametryczne ewoluty elipsy. Rugując t otrzymujemy równanie uwikłane tej krzywej (ai)^2l3+(br,)^2l3=c*¹³ (gdzie c²=a²-b²).

Krzywa ta przypomina asteroidę i może być z niej otrzymana przez rozciągnięcie wzdłuż osi y (rys. 161).

Analogicznie — używając tylko funkcji hiperbolicznych zamiast trygonometrycznych — znaj-x² y²

dujemy ewolutę hiperboli -2—75=1 i a b

(ai)^2l3-(bn)^2,3=c*¹³ (gdzie c² = a²+b²).

Przykład 3. Znaleźć ewolutę asteroidy _x^ll3+y^ll3=a¹¹³.

Wiemy już z ustępu 252, 2), że

/=-