112747

Załóżmy teraz, że badane twierdzenie zachodzi dla

jakiegoś n = k:

1 + 2 + ...+ * =

*(* + 1)

Chcemy na tej podstawie wykazać, że twierdzenie zachodzi również dla n = *+1, czyli:

1 + 2 +... + * + (* +1)

(* + !)((*+ 1)+1)

Mamy:

(L)

l + 2 + ...+ * + (* + ₁) = ^ + (* + l)=^+^±ł> = ⁽^¹⁾⁽^²>

(P)

(* + !)((* + D+D (* + !)(*+ 2)

To kończy dowód, ponieważ (L) strona równa się stronie prawej (P).□

PRZYKŁAD 3.

G. W. Leibniz (siedemnastowieczny niemiecki filozof) udowodnił, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, n³ - n jest podzielne przez 3; n⁵- n jest podziclnc przez 5 oraz, że n - n jest podzielne przez 7. Chciał ten wynik uogólnić bez dowodu, ale sam zauważył, że 2 - 2 = 510 i nie jest podzielne przez 9. L. Euler zajmował się wielomianem o postaci jt²+jt + 41, któiy pozornie generował wyłącznie liczby pierwsze. Jednak tylko pozornie, ponieważ dla x=4\ uzyskujemy liczbę złożoną. Przykłady te pokazują, że uogólnienie jest uprawomocnione tylko na podstawie dowodu.

PRZYKŁAD 4

Co jest nieprawidłowego w następującym ‘dowodzie’?

TWIERDZENIE: elementy dowolnego zbioru są identyczne.

DOWÓD Indukcja biegnie po liczności zbioru.

n = 1. W tym przypadku zbiór ma jeden element, który jest identyczny sam ze sobą.