chądzyński6

90 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

co daje (*).

Odwrotnie, załóżmy teraz, że zachodzi (*) i f(z) = ₀a_Ttzⁿ. Stąd, na mocy nierówności Cauchy’ego wzór (1.30.2), dla dowolnego n £ N i dowolnego R > 0 dostajemy

knl <

M (l + R^k)

R^r

Stąd i z tego, że

M(l + R^k)

lim ——-= o dla n > k,

R-++oo    Rⁿ

□

dostajemy a_n = 0 dla n > k. To kończy rozwiązanie.

Zadanie 8. Pokazać, że C jest ciałem algebraicznie domkniętym, tzn. że każdy wielomian stopnia dodatniego ma w C co najmniej jedno zero.

Rozwiązanie. Przypuśćmy przeciwnie, że wielomian f(z) — ao +----h

OkZ^k> cik 7^ 0 nie ma zer w C. Wówczas funkcja 1// jest całkowita. Ponadto 1/f(z) —+ 0, gdy z —» co. Zatem istnieje taka liczba Ń. > 0, że dla kl > R mamy |l//(z)j < 1. W kole domkniętym K — {z £ C : \z\ < R} funkcja 1/f jako ciągła jest ograniczona przez pewną stałą M >0. W konsekwencji funkcja 1/f jest ograniczona przez max(l, M) i na mocy twierdzenia Liouville’a 1.30.2 jest stała. ; Tym samym również funkcja / jest stała, co prowadzi do sprzeczności.

To kończy rozwiązanie.    □

5.2. Rozwinięcie w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu

Zadanie 1. Znaleźć rozwinięcie funkcji f : C^x B z i—► exp (z + ł) € C w szereg Laurenta o środku Zq = 0. Określić jego pierścień zbieżności.

Rozwiązanie. Funkcja / jako holomorficzna w C*, w myśl twierdzenia 1.29.1, rozwija się w szereg Laurenta postaci

I oc.

(i)    f(z) = ^an^^Tl dla zeC'^x.

n= — co

Ponieważ f(l/z) — f(z) dla z £ C^x, więc z własności 1.28.1 dostajemy, że a__n = a_n dla n £ TL. Wystarczy zatem obliczyć a_n dla n > 0. Niech C będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie 0 i promieniu R > 0. Wtedy na mocy twierdzenia 1.28.2 mamy

<²⁾    a*=Łl^fM^d*-

Z zadania 5.1.1 expz = YlkLo h.^zk dla ^z Stąd

⁰⁰ i    i

(3)    f_{(z) =} Y_/j:.(z+-)^k dla ₂₆C’.

k=0

Zauważmy, że szereg (3) jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny na |Cj. Istotnie, dla \z\ — R mamy +    < Ł(R + 4)

oraz

Sfclo kifó + R.)^{k =} exP(^ + jf)- Stąd i z (2), na mocy wzoru dwumianowego Newtona i własności 1.19.5, dostajemy

(4)

Połóżmy

(5)

h.L

dz

h = Yl

1

,k — 21—n—1

d:

;^i\(k-iy.27Ti Jc Pokażemy teraz, że

gdy k — n -f 2s dla pewnego s G N, gdy k ± n + 2s dla każdego s G N. Istotnie, z zadania 3.2.8 dla dowolnej liczby r G Z mamy

(6)

_ / s!(n+s)!’

I o,

-L_ / _z^rd_z — f ¹ r —

27tż Jc    1 0 dla ^r 7^ “1-

Gdy k — n-\-2s dla pewnego s G N, to w myśl (7)

«+2s

(7)

*>* = £

1

u

l\(n + 2s — 1)1 2ni J_c

_rn+2s—2l—n—l^_y _

1=0

s\{n + s)!

Gdy k ■=/=■ n •+- 2s dla każdego s G N, to w myśl (7) wszystkie całki w (5) są równe zeru i bk = 0.

Z (4), (5) i (6) dla n G N dostajemy

(8)

In ^ ^ bn+2s — ^

s—0

3=0

s!(n + .*?)!