chądzyński9

94 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

+oo, co daje

94 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

(2)

lim

/'(*)

“ 9'(^z)

= 0.

Z (1) i (2) dostajemy (*) i istnienie obu granic w tym wzorze.

(b). Niech ord_a</ < ord_af < H-oo. Wtedy z zadania l(c) mamy

°rd₀ f/g = ord_a / - ord_a g > 0.

Stąd dostajemy (1). Z zadania l(d) mamy ord_a f — ord_a / — 1 ^ -foo i ord_a g' — ord_ag — 1 ^ -foo. Stąd i z zadania l(c) mamy

orda f/g' ~ ord_a f - ord_G g’ = ord_a / - ord_a g > 0,

co daje (2). Z (1) i (2) dostajemy (*) i istnienie obu granic w tym wzorze.

(c). Niech ord_af < ord_ag. Wtedy z zadania l(c) mamy

^ord« f/g = ord_a / - orda 9 < 0.

Stąd dostajemy

(3)

oo.

_r f(z)

lim s

g(z)

ord_a g -

Z zadania 1 (d) mamy ord_a f — ord_a / — 1 ^ +oo i ord_ag^ł 1 f +oo. Stąd i z zadania l(c) dostajemy

orda f/g' = ord_a f - ord_a g' = ord_a / - ord_a g < 0,

co daje

(4)    lim = co.

Z (3) i (4) dostajemy (*) i istnienie obu granic w tymi wzorze.

(d). Niech ord_af = ord_ug = l e Z. Wtedy, na mocy twierdzenia 1.32.1, istnieją funkcje fi,gi holomorficzne, nigdzie nieznikające w pewnym otoczeniu Q punktu a i spełniające warunki

(5)    /O) = (z- a)^lfi(z), g(z) = {z- a)^lgfz) dla z e Q \ {a}.

Z (5) dostajemy

fi*) _ M^a)

(7)    lim _ _lim ^ll^z ~ a>)¹ Ł/i W + (^z ~

— <?'(*)    — J(* - G)^-¹5l(z) + (z - o)V, (*)

'    = Hm ^llń^z) + (^z ~ ^a)fi(^z) ₌ Mo)

,Z (6) i (7) dostajemy (*) i istnienie obu granic w tym wzorze To kończy rozwiązanie.