chądzyński4

86 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

gdzie Cr jest tukiem okręgu o opisie parametrycznym (0,7r/4) k Rexp it. W myśl zadania 3 dla dowolnego R mamy

86 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

exp(—z²)dz — 0-

Stąd, z określenia Fr i z własności 1.19.3 (c) i (d) dostajemy

a)

/    exp (~z²)dz — / exp(—z²)dz + / exp(—z²)dz

■/[0,Eexp(7rż/4)]    [0,72]    •'Cr.

Oszacujemy teraz drugą całkę po prawej stronie (1). Oznaczmy ją A_3R. Korzystając z opisu parametrycznego krzywej Cr i przechodząc do całki zwyczajnej, mamy

L

Jr-n/A

o

exp(—R² cos ‘2t)Rdt.

f
/ exp(—z^2)dz	=	/ exp(—R" exp 2it)iRex~pitdt
JcR		Jo

7t/4

I exp (— R² exp 2it)iR, exp it I dt —

Dalej z tożsamości trygonometrycznej cos2ć = 1 — 2 sin² f, oczywistej nierówności cost > 1 dla t € (0,7t/4), podstawienia (0,7r/4) 3 t i—» RV2silit e (0, R) oraz nierówności expr² < exp Rr dła r € (0, R) dostajemy

/*7T/4    /*7T/4.

/    exp(—i?² cos 2t)ir!d£ < / exp(—/?²(1 — 2 sin² t))R\/2costdt —

Jo    Jo

/•/?

/ exp(—R² + r²)dr < exp(—R²) / exp(/?r)dr =

Jo    Jo

/ exp i?²

<

i_

R‘

exp(—R²)

Reasumując, dla dowolnego R. > 0 mamy

(2)    |^3id < 1/R-

Oznaczmy przez A±_R całkę po lewej stronie (1), a przez A₂r pierwszą całkę po prawej stronic (1). Korzystając z opisu parametrycznego odcinków, przechodząc do całek zwyczajnych i dokonując podstawień

5.1. ROZWINIĘCIE W SZEREG POTĘGOWY W OTOCZENIU PUNKTU 87 (0,1) B t i—► Rt e (0,R) (patrz zadanie 3.2.3), dostajemy

(3)    Air = f exp(—(Rt)²exp(ni/2))exp(7ri/4)Rdt

Jo

f^R

= / exp(—t² exp(7ri/2)) exp(iri/4)dt,

Jo

(4)    A₂r= / exp(— (Rt)²)dt — / exp(—t²)dt.

Jo    Jo

Przechodząc w (1) do granicy przy R ■—> -foo i korzystając z (2), (3),

(4)    oraz ze znanej równości e~^t<2dt — (1/2) a/tt, dostajemy

/*oo

(5)    / exp(—t² exp(m/2)) exp(7rż/4)df = (1/2)^/tF,

Jo

przy czym całka, po lewej stronic (5) istnieje. Z (5) mamy

/•CO    /*CJO

(6)    / (cost² — ?!sinf²)dć = / exp(—t²i)dt =

Jo    Jo

/‘OO

/ exp(—t²exp(7ri/2))df—

Jo

(l/2)v^/7rexp(-(7ri/4)) — V^V8(¹ — i)-

Z określenia całki niewłaściwej w dziedzinie zespolonej (patrz podrozdział 4.2) dostajemy wzory na całki Fresnela.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Niech R będzie dowolną liczbą dodatnią i niech Cr będzie lukiem okręgu o opisie parametrycznym y_R : (0,7r) 3 t ► Rexpit 6 C. Pokazać, ze dla a > 0 mamy

w

lim

Ii—*.+oo

/

Jc_R

exp zaz

dz = 0.

Rozwiązanie. Ponieważ funkcje z (—» expm^ i 2 f—>■ z^-1 są holomorficzne w C^x i krzywa Ck> przebiega w C^x, więc na mocy zadania 4.3.4 mamy

(i)

L

exp zaz , exp laz -dz = -

zaz

L

+

R JC_H

exp taz iaz²

dz.