7(11)

Załóżmy teraz, że pręt porusza się w układzie odniesienia S. Oznacza to, że różnicę współrzędnych jego końców będzie można uznać za długość pręta L w układzie S tylko wtedy, kiedy odpowiednie współrzędne będą zmierzone jednocześnie — czyli At = 0. Jeżeli podstawimy do równania (38.24) Aa⁷ = Lo, Aa = L i Ar = 0, to otrzymamy

L =

Lo

(skrócenie długości),

(38.25)

czyli dokładnie równanie (38.13) wyrażające skrócenie długości.

Przykład 38.4

Statek kosmiczny został wysłany z Ziemi do bazy na planecie PI407, której księżyc jest miejscem stacjonowania oddziałów wrogo nastawionych Reptulian. Statek lecący po linii prostej najpierw mija planetę, a następnie jej księżyc. W tym czasie załoga statku dostrzega emisję silnego promieniowania mikrofalowego ze stacji Reptulian na księżycu, a 1,1 s później eksplozję w bazie Ziemian na planecie. Według pomiarów' w układzie odniesienia związanym ze statkiem obie placówki dzieli odległość 4 • 10^s m. Nie ulega wątpliwości, że Reptulianie zaatakowali Ziemian i załoga statku przygotowuje się do starcia z nimi.

a) Statek porusza się względem planety i jej księżyca z prędkością 0,98c. Jaką odległość i odstęp czasu między emisją promieniowania i wybuchem zmierzy obserwator w układzie związanym z planetą i jej księżycem (jak opiszą zdarzenia Ziemianie z bazy na planecie i Reptulianie na Księżycu)?

ROZWIĄZANIE:

Zauważmy, że:

O—w 1. W zadaniu mamy do czynienia z pomiarami wykonanymi w dwóch inercjalnych układach odniesienia: w pierwszym związanym z planetą i księżycem oraz w drugim, związanym ze statkiem kosmicznym.

O—f 2. W zadaniu można wskazać dwa zdarzenia: emisję promieniowania i wybuch.

O^r 3. Musimy dokonać transformacji posiadanych danych o odległości i odstępie czasu między zdarzeniami z układu związanego ze statkiem kosmicznym do układu związanego z planetą i jej księżycem.

Zanim dokonamy transformacji, musimy zadbać o wyprowadzenie odpowiednich oznaczeń. Zaczniemy od naszkicowania sytuacji, jak na rysunku 38.10. Przyjęliśmy tu, że związany ze statkiem układ S spoczywa, a układ planeta-księżyc S' porusza się z dodatnią prędkością (w prawo). (Nasz wybór jest oczywiście dowolny; równie dobrze mogliśmy przyjąć, że spoczywa układ planeta-księżyc. W takim przypadku zaznaczylibyśmy na rysunku 38.10 wektor v jako prędkość układu S skierowaną w lewo. Wartość i> byłaby ujemna, ale wynik obliczeń nie uległby zmianie).

-*-

księżyc

(emisja

promie

niowania)

planeta

(wybuch)

Rys. 38.10. Przykład 38.4. Planeta i jej księżyc związane z układem odniesienia S', poruszają się w prawo z prędkością v względem układu odniesienia S związanego ze statkiem kosmicznym

Niech wskaźniki „w” i „e” odnoszą się do zdarzenia wybuchu i emisji promieniowania. Możemy teraz zapisać posiadane przez nas dane, uzyskane w układzie S (statek):

Aa = a_w — a_c = -f4 • 10⁸ m

oraz

At = r_w - t_c = 4-1,1 s.

W naszym przypadku odległość Aa jest dodatnia, ponieważ na rysunku 38.10 współrzędna w'ybuchu a_w jest większa niż współrzędna emisji a_c. Odstęp czasu At jest także dodatni, bo wartość r_w jest wdększa niż t_c (wybuch zaobserwowano później niż emisję promieniowania).

Szukamy odległości Aa' i odstępu czasu At', które możemy wyznaczyć, dokonując transformacji danych z układu S do układu S' związanego z planetą i księżycem. Zajmujemy się parą zdarzeń, dlatego też skorzystamy z rówmań podanych w tabeli 38.2 (równania 1' i 2'):

Aa' = y(Aa - vAt)

oraz

(38.26)

(38.27)

W naszym przypadku v = -f0,98c\ co odpowiada współczynnikowi Lorentza równemu

— =    -    — = 5,0252.

71 - (v/c)²    y/\ - (0,98c/c)²

164

38. Teoria względności