0492

493

§ 3. Styczność krzywych

Łatwo teraz dostrzec, że (porównaj ustęp 121):

d²y¹

dy¹

di^{1 =}

• j.^dy

-sina+ — cos a dx

^dh

dx²

dy ■

cos a-l--sin a

dx

dx

*2 '

dy .

cosaH---sm a

dx

3 ’

i ogólnie:

dY_ (dy £y_ dx^1k~^k[dx’ dx⁷'

d^ky

d?

gdzie R_k oznacza funkcję wymierną. Widać już stąd od razu, że gdy dla dwóch funkcji y zmiennej x spełnione są równości (13), to dla dwóch odpowiadających im funkcji y¹ zmiennej x¹ też muszą być spełnione analogiczne równości. Dalej, gdy spełnione są równości (13), to z nierówności (14) wynika taka sama nierówność dla nowych funkcji. W przeciwnym razie przekształcenie odwrotne prowadziłoby dla starych funkcji do równości sprzecznej z nierównością (14).

Tym samym udowodniliśmy, że rząd styczności nie zależy od wyboru układu.

242. Przypadek, gdy jedna z krzywych jest dana równaniem uwikłanym. Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy druga krzywa jest dana równaniem uwikłanym

(15)    G(x,y)=0.

Załóżmy, że rozpatrywany punkt M₀(x₀,y₀) nie jest punktem osobliwym tej krzywej, niech mianowicie G'(x₀, y_o)#0. Wówczas w otoczeniu tego punktu równanie (15) określa jednoznaczną funkcję y—g(x) i dla wyznaczenia rzędu styczności można posłużyć się znanymi już nam warunkami (13) i (14).

Ponieważ teraz funkcja g(x) nie jest dana bezpośrednio, więc wygodniej jest nadać tym warunkom taką postać, aby dotyczyły one tylko danej funkcji G.

W tym celu przypomnijmy sobie, że wartości funkcji g(x) i jej pochodnych g'(x), g"(x), •••, g^M(x) można kolejno wyznaczać (i to jednoznacznie) z równania (15) i równań, które się z niego otrzymuje różniczkując je względem x — jeżeli się tylko przy tym przez y rozumie funkcję g(x) [209]. Są to równania

G(x, g(x))=0,

G'_x(x, g (x)) + G;(x, g (x))g'(x)=0,

+ 2G" g\x) + G'_y>[g'(x)Y + G’_y g"(x)=0,

G'"_n^,+ ... + G;<7⁽"⁾(x)=0(¹).

1

W każdym z równań podkreślona jest wielkość, którą określa jednoznacznie to właśnie równanie, gdy tylko są już określone poprzednie wielkości. Dotyczy to też układu równań podanego niżej.