0496

497

§ 3. Styczność krzywych

W związku z tym mówi się niekiedy (niezbyt ściśle, lecz poglądowo), że krzywa ściśle styczna z rodziny n+1 parametrowej jest „krzywą przechodzącą przez n+1 nieskończenie bliskich punktów danej krzywej”. W szczególności styczna przechodzi przez dwa nieskończenie bliskie punkty krzywej, a koło ściśle styczne — przez trzy.

§ 4. Długość krzywej płaskiej^)

245. Lematy. Rozpatrzmy krzywą płaską AB, zamkniętą lub nie, przedstawioną równaniami parametrycznymi

(1)    x=ę{t),    y=y/(t)    (t₀<f<T);

0    funkcjach (p i y załóżmy na razie tylko to, że są ciągłe. Załóżmy też, że krzywa nie ma punktów wielokrotnych, tak że każdy jej punkt można otrzymać tylko dla jednej wartości parametru t, z wyjątkiem pokrywających się końców krzywej, jeżeli jest ona zamknięta (²). Przy tych założeniach będziemy krzywą nazywali krzywą zwykłą ciągłą.

Aby wprowadzić dla takiej krzywej pojęcie długości, zaczniemy od pewnych pomocniczych twierdzeń. Niech wartościom parametru t' i t" (/₀^t'<f"< r) odpowiadają punkty M' i M".

Lemat 1. Dla dowolnego S>0 można dobrać takie tj>0, że dla t"—t'<ri długość cięciwy

Istotnie, wobec jednostanej ciągłości funkcji ę i y/ występujących w równaniach (1) można do 5 dobrać takie r/>0, że dla \t"—t’\<ri jest jednocześnie

\ę{t")-ę{t')\<~^ i \y/(j")-y/(t')\<-^

1    tym samym

m'm"=V[>(o-    +[_W(n-v(t')Y<ó.

Prawdziwy jest także

Lemat 2. W przypadku krzywej nie zamkniętej dla dowolnego e>0 istnieje takie S>0, że gdy tylko długość cięciwy M'M"<5, to różnica t" — t' wartości parametru odpowiadających końcom cięciwy musi być mniejsza od e.

Załóżmy, że tak nie jest. Wówczas dla pewnego e>0 można przy każdym <J>0 znaleźć takie dwa punkty M'(t') i M"(t"), że M'M”<8 i jednocześnie t" — t"^e. Biorąc ciąg {cS„} malejący do 0 i przyjmując kolejno S=8_n (dla n=l, 2, ...) otrzymamy dwa ciągi punktów

C¹) Zagadnienie to należy właściwie do rachunku całkowego, przedstawimy je jednak częściowo już tutąj, bo w następnym paragrafie będzie nam potrzebne pojęcie długości łuku krzywej i jej własności. Samo obliczenie długości łuku krzywej odkładamy do drugiego tomu.

(²) Patrz notka na dole stronicy 450.

32 O. M. Fichtenholz