0494

495

§ 3. Styczność krzywych

Przy tym okazuje się zwykle, że

4>%%\Xx_Q,a,b,...,l)*Q

i rząd styczności jest dokładnie równy n. Ten przypadek dla rodziny n+1 parametrowej należy uznać za normalny.

W tych wyjątkowych punktach, w których dodatkowo spełnione jest równanie (21)    <P$XV(x_o,a,b,...,l)=0,

mamy do czynienia z ponadścislą stycznością. Punkty takie można znaleźć rozpatrując równania (20) i (2^ł) jako jeden układ n+2 równań o n+2 niewiadomych x₀, a, b...../.

Przykład 1. Prosta ściśle styczna. Rodzina prostych może być określona równaniem

y=ax+b

o dwu parametrach. Dlatego też w ogólnym przypadku można otrzymać najwyżej styczność pierwszego rzędu z krzywą y=f (x). Dla tej rodziny jest

<P(x,a,b)=y-ax-b,    4>'_x(x,a,b)=*y—a,    a, ó)=y" ;

przez y rozumiemy tu funkcję f(x). Zaznaczając wskaźnikiem zero wartości y, y' i y" odpowiadające wybranej wartości x=x₀, otrzymujemy następujące równania dla wyznaczenia parametrów a i b.

yo—ax_o—be=0 yó—a^O.

Stąd a=y'₀ i ó=y₀—y'₀x₀. Podstawiając te wartości do równania rodziny prostych, otrzymujemy równanie

w którym czytelnik rozpozna łatwo równanie stycznej.

Zatem prostą ściśle styczną jest styczna.

Rząd styczności w ogólnym przypadku jest tu jak widać równy 1. Może być on wyższy w tych poszczególnych punktach, w których spełniony jest dodatkowo warunek y'ó=0. Mogą to być na przykład punkty przegięcia.

Przykład 2. Kolo ściśle stycznej). Rodzina okręgów jest przedstawiona równaniem

0c-&+(y-nf*x*

o trzech parametrach n i R. Mówiąc ogólnie styczność może być tutąj najwyżej drugiego rzędu. Jest teraz — jeżeli się znowu przez y rozumie f{x) —

#(*, i. n, P)=(x-i)²+(,y->i)²-P²

i&i(x,C,ti, R)’=x-(+{y-n)y',

i, n, R)=i+y²+(y-ti)y'.

Zatem wartości parametrów określone są równaniami

(xo-()¹+(y₀-n)²^R¹, xo-(+(yo-ti)y_O‘=0, l+y<?+(yo-ti)y'ó“0.

0) Zgodnie z przyjętym zwyczajem używamy tu wyrazu „koło” w sensie „okrąg”.