chądzyński9

76 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE

Wzór (d) pokażemy indukcyjnie. Z (a) wynika, że dla k = 1 wzór jest prawdziwy i szereg w (d) jest niema] jednostajnie zbieżny. Zakładając, żc zachodzi (d) dla jakiegoś k > 1 i że szereg w (d) jest niemal jednostajnie zbieżny oraz stosując twierdzenie Weierstrassa 1.26.1, dostajemy

76 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE

CO

7T*f 1

oo

n=0

p» = (fc+i)£(^t+‘⁺V\

□

co daje wzór (d) dla k 4-1. To kończy rozwiązanie.

4.5. Szeregi potęgowe i Laurenta Zadanie 1. Niech KT={zś=C:[z|<l}. Pokazać, że

dla z £ K

71=0

i ze. K jest kołem zbieżności powyższego szeregu.

Rozwiązanie. Funkcja Log jest ciągła w C\K_. Zatem funkcja L : K 3 z » Log(1—2:) jest gałęzią logarytmu funkcji K 3 z 1 — z £ C \ R_. Z zadania 4.1.5 wynika, że funkcja L jest holomorficzna i L'(z) — —1/(1 — z). Korzystając teraz z zadania 4.4.2(a), dostajemy

71=0

(i)

przy czym, w myśl twierdzenia 1.27.1, szereg w (1) jest niemal jednostajnie zbieżny w K.

Niech z £ K będzie dowolnym punktem i niech [0, z] będzie odcinkiem zorientowanym o początku w punkcie 0 i końcu w punkcie 2. Wtedy z (1) i równości L{0) = 0, na mocy własności 1.19.5 i twierdzenia 1.20.2, dostajemy

co daje (*).

Łatwo zauważyć, że limsup y/ljn = 1, co w myśl twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda 1.27.2 daje drugą część zadania.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech K = {z G \ \z\ < \} i niech T będzie gałęzią arcusa tangensa w kole K, która przyjmuje w punkcie 0 wartość 0. Pokazać, ze

OO

(*)    T(z) = ^P(-l) Vⁿ⁺¹/(2n + 1) dla z G K

n—O

i ze K jest kołem zbieżności powyższego szeregu.

Rozwiązanie. Z zadań 2.5.11(a) i 4.1.8 wynika, że gałąź T istnieje, jest funkcją holomorficzną i T'{z) — 1/(1    z²). Korzystając teraz z

zadania 4.4.2(a), dostajemy

OO

(1)    T'(z) =    dla z € K,

rt^= 0

przy czym, w myśl twierdzenia 1.27.1, szereg w (1) jest niemal jednostajnie zbieżny w K.

Niech z G K będzie dowolnym punktem i niech [0, z] będzie odcinkiem zorientowanym o początku w punkcie 0 i końcu w punkcie z. Wtedy z (1) i równości T(0) = 0, na mocy własności 1.19.5 i twierdzenia 1.20.2, dostajemy

C    °° f    °°    /_1 \7l -271+1

T(z) = / T'{Qd.C =-£/ (-l)"C²’*rfC = E ^L^TT~’ Ąo_tz)    _n=0J[ OM    ti=o ²ⁿ⁺¹

co daje (*).

Połóżmy a_2n — 0 i fl2n+i = (-l)ⁿ/(²ⁿ + 1) dla n G N. Łatwo zauważyć, że limsup %/\a_7l\ = 1, co w myśl twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda 1.27.2 daje drugą część zadania.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Pokazać, ze jeśli a„^0,ncN i istnieje granica

lim    — p G M₊ U {+oo},

n—> CJO |a_n[

to przy konwencji 1/0 r — +00,1/+00 := 0 liczba 1/p jest promieniem zbieżności szeregu    ^an{z — ^o)ⁿ-