chądzyński7

72 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE

Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją £o > 0 i ciągi {w_n}, {C„} takie, że w_n G E, w_n —► u/₀, C_n e |P| i dla każdwgo n

(2)    b(^n, Cn) - .9(^0, Cn) I > ^eo/£-

W myśl zwartości [F| możemy założyć, kosztem ewentualnie wybrania podciągu, że C_n —> Co ^ l^i- Z ciągłości funkcji p mamy

lim g(w_n, C_n) = g(wo, Co) i ^lim ^Oo, Cn) = 9(^0, Co)-

n—'oo    n—+oc

Stąd

lim (pOn, Cn) - g(Wo> Cn)) =

n—>00

lim (g(w_n, C_n) - pO₀, Co)) + ^liin OOo> C_n) “ 9i^wo> Co)) = °-

n—foo    n—>og

co jest sprzeczne z (2).

Z (1) i z własności 1.19.4 dla w £ E i p(uą u>₀) < d mamy

\f(w) - f{w₀)\ =

(g{wX) - g{w₀>ę))dę

< £.

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 2. Niech a,b € C, a ^ b i niech f będzie funkcją holomorficzną na podkładzie odcinka [a, 6]. Pokazać, że istnieją punkty c\, ci leżące wewnątrz teqo odcinka takie, że Re [(/ (6) — f (cl)) / (b — a)l — Re f (cf i Im [(/ (b) — f (a)) / (6 - a)] = Im/' (c₂).

Rozwiązanie. Pochodna funkcji holomorficznej, na mocy wniosku 1.24.1, jest funkcją holomorficzną, zatem f jest funkcją ciągłą. Stąd, na mocy twierdzenia 1.20.2, mainy

f(b)-f(a) = f f'(z)dz= f f'(a + (b-a)t)(b-a)dt J [a.,6]    J 0

— (b — a) i f (a + (b — a) t) dt.

Jo

W konsekwencji

Re [(/ (b) - f (a)) / (b - a)] = f Re f (a + (6 - a) t) dt,

Jo

Im [(/ (b) -- / (o)) / (6 — a)] = f Im f (a + (6 — a) t) dt.

do

4.3. RÓŻNICZKOWANIE CAŁKI WZGLĘDEM PARAMETRU    73

Stosując twierdzenie o wartości średniej do powyższych całek (patrz np. [Sp], wniosek 11.7.2), dostajemy tezę zadania.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Niech GcC będzie zbiorem otwartym i niech T będzie krzywą regularną w C. Pokazać, że jeśli funkcja f : Gx |r| —► C jest ciągła i dla każdego w € |P| funkcja z i—► f{z, w) jest holomorficzna, to funkcja F : G —* C dana wzorem

F(z) = J f {z, w)dw

jest holomorficzna w G i wszystkie jej 'pochodne dane są wzorami (*)    F^\z) = ^~~{z,w)dw.

Rozwiązanie. Dla n = 1 wzór (*) wynika z twierdzenia 1.24.1 przy czym, na mocy lematu 1.24.2, funkcja /' : G x |T| —► C jest ciągła. Zakładając, że zachodzi (*) dla jakiegoś n > 1 i że funkcja : Gx |F| —> C jest ciągła oraz stosując twierdzenie 1.24.1, otrzymujemy wzór (*) dla n + 1.

Indukcja kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Pokazać, że jeżeli funkcje /, g są holomorficzne w zbiorze otwartym G c€, T jest krzywą regularną przebiegającą w G o początku w punkcie a i końcu w punkcie b, to

(*) J f {^z)g{z)dz = f(b)g(b) - f(a)g(a) - f{z)g'(z)dz.

Rozwiązanie. Na podstawie wniosków 1.24.1 i 1.9.1 istnieją w G pochodne /', g' i są ciągłe. Ponieważ funkcja /g jest funkcją pierwotną funkcji (fg)^ł, z twierdzenia 1.20.2 dostajemy

f 9{^z)

b

= f(b)g(b) - f(a)g{a).

a

Stąd i ze wzoru na pochodną iloczynu dostajemy wzór (*).

To kończy rozwiązanie.    □