chądzyński6

70    4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE

zbieżności całki e~^x*^+y2dx, dostajemy łatwo zbieżność obu całek [ / ^ Re f(x + iy)dx,    Im /(.t + iy)dx. To daje zbieżność całki (*).

Ustalmy a > 0 i dla dowolnego R > 0 oznaczmy przez dP_R dodatnio zorientowany brzeg prostokąta o wierzchołkach z_XR = — R, Z2R ~ R, z₃r — R + ai, zą,r — — R + ia. Wtedy

⁽²⁾    |

[ f{z)dz = j /    + f + f + f | f{z)dz. [

ddPR    w [*1.R>22r]    J\z-2R,Z$r] d [z^r,Ząr] J[z4R,z\b})

Oznaczmy całki po prawej stronie (2) odpowiednio przez Ti/?, A2R, ; A₃r, Air.    \

Pokażemy teraz, że

(3)    lim A2R = lim Aąr = 0.    :

^X '    TD i    U v 1    i

Istotnie, z (1) dla punktów 2 leżących na odcinkach [z_2R, z_3r\ i [ząr, z\r\ mamy \f(z)\ < _e-R²+ⁿ². Stąd i z własności 1.19.4 dostajemy |v4fcft| < ae~^R2+a2 dla k — 2, 4, co daje (3).

Zauważmy teraz, że

(4)

A\it —

/-f-R    ^    /* + R

eP^dt i A_iR= — / exp[— (t + ia)²]dt ■r    J-R

Istotnie, przechodząc od całek krzywoliniowych do zwyczajnych, korzystając z opisu parametrycznego odcinka i dokonując odpowiednich podstawień (patrz zadanie 3.2.3), mamy

Air = [ f(-R + 2Rt)2Rdt= f f(t)dt,

J o    J-r

A₃r = / /(i? -ł- ia — 2Rt)(—2R)dt = — f f(t + ia)dt.

Jo    J-R

Stąd kładąc f(z) — exp(—z²) dostajemy (4).

Z drugiej strony, ponieważ funkcja / jest holomorficzna w C, to z twierdzenia całkowego Cauchy’ego dla prostokąta

f f(z)dz ~ 0. JdP_R

Z (2), (4) i (5) dostajemy

/-+ R    r+R

exp[—(i + ia)²]dt — /    e~^f2 dt + A₂r -f A_iR.

■r    J-r

(6)    / exp[—(i + iaf}dt = / e ^dt.

Stąd, przechodząc do granicy przy R —> *f oo, dostajemy

—oo    */ —oc

Z (6) otrzymaliśmy, że całka (*) nie zależy od a dla a > 0. Ponieważ exp z — exp z oraz

— OO    j —oo

exp[—(t 4- ia)²]dt — /    exp[— (i + ia)²]dt,

więc z (6) dostajemy

Reasumując, wzór (6) zachodzi dla dowolnego a £ IR, czyli całka (*) nie zależy od a dla dowolnego a £ R.

Na zakończenie zauważmy, że z (6) dostajemy

( e ^t2dt — He e ⁱ²dt = R.e / exp(—(t -ł- ia)²]dt =

—OO    ,7—00    J—oo

co daje (**).

□

To kończy rozwiązanie.

4.3. Różniczkowanie całki względem parametru

Zadanie 1. Niech E C <C^k i T będzie krzywą regularną w C. Pokazać, ze jeśli g : E x jTj ■—> C jest funkcją ciągłą, to funkcja f : E —> C określona wzorem

jest ciągła (wzmocnienie własności 1.24.1).

Rozwiązanie. Gdy T jest krzywą o podkładzie jednopunktowym, zadanie jest oczywiste. Załóżmy, że krzywa F ma długość L > 0.

Oznaczmy dalej przez p(% *) metrykę euklidesową w C.^k (patrz § 1.24). Niech wq £ E będzie dowolnym ustalonym punktem i e > O dowolną liczbą. Pokażemy, że istnieje liczba S > O taka, żc dla dowolnych w 6 E i £ £ jF|, jeśli p{w, Wq) < 5, to

(i)