str051 (5)

8 7. CAŁKI Z FUNKCJI HOLOMORFICZNYCH 51

8 7. CAŁKI Z FUNKCJI HOLOMORFICZNYCH 51

(U)

iłkę zwyczajną, stosując wzór iR²e^2lt)e^udt,

>(-fl²sin 2t)dt, f t.

i (7), mamy

-R²)

Wobec tego

o

(10) j/(z)dz= — J exp(ir²e'*ⁿ)exp(iiJt)dr = Jexp(i>Vi’^,)exp(ii7i)<fr =

— R

= J exp (ir² (cos +i sin £rc)) (cos + i sin jn) dr =

R

= +^-(l + 0j exp(—r²) dr = -Ąl + i)jexp(-r²)</r.

2    r    z‘ o

Przechodząc we wzorze (10) do granicy przy JR-*oc i uwzględniając równość (2), mamy

,    ,    J 2    */7t    */2jt

[lim J/(z)rfz= -V(l + 0^-= -Vd + i).

R-* od Ji    2-    2    ⁴

Przechodząc z kolei we wzorze (5) do granicy przy R-* co i uwzględniając wzory (6), (9) i (11), otrzymujemy kolejno

“    , J2ń

f exp (ix²) dx--(l + /) = 0,

o    4

f exp (ix²) dx =    (1 + 0,

o    4

(12)

«0    /2jc

J (cos x² + i sin x²) dx = —— (1 + i).

Porównując części rzeczywiste i urojone po obu stronach równości (12), mamy

„2

7    2,    >/2i    7 .    2 i J^2k

cos x dx = -—    sin x dx =-

o    4    6    4

Zadania do rozwiązania

1.    Obliczyć całkę

2.    Obliczyć całkę

| exp(—ax²)cosbxdx, a>0.

J exp( — ax²)cos(2abx)dx, a>0, h>0.

Odpowiedzi

1. —. /- exp{--\ Wskazówka: zastosować twierdzenie całkowe Cauchy’ego, roz-

2 \ a \ 4aJ

c), gdzie —0, skąd

ważać funkcję pomocniczą /(z) = exp(—az²) oraz kontur całkowania C, jak następuje (rys. 1.11):

c = j₁+_</₂+y3+j₄,

4*