str049 (5)

8 7. CAŁKI Z FUNKCJI HOLOMORFICZNYCH 49

8 7. CAŁKI Z FUNKCJI HOLOMORFICZNYCH 49

= Z₃ = (1 +/)>

oraz końcu z₂ = i, sini,

u z_Ł = 0 oraz końcu z₂ = in, ku z_x = i oraz końcu z₂ = 0, początku Zj = 0 oraz końcu

ną o początku z_{ = 0 oraz

^fl)» e) i, f) 2i, g) 2i.

jest holomorficzna w obsza-¹uż każdej krzywej regularnej

leży na zewnątrz pozosta-jżeniach słuszne jest

aspójne). Jeżeli funkcja /(z) jo konturami C₀, C_lt C_n

f(z)dz.

leżeli funkcja f{ż) jest holo-

gdzie C_x oraz C₂ są dowolonymi konturami zawierającymi punkt z₀ i leżącymi wewnątrz obszaru D.

Twierdzenie 3. Jeżeli /(z) jest funkcją holomorficzną iv obszarze jednospójnym D oraz z₀ jest dowolnie ustalonym punktem obszaru D, to funkcja F{z) określona wzorem

(7.4)    F(z)=]j(Z)dt, zeD

*0

jest funkcją holomorficzną górnej granicy i jej pochodna równa się funkcji podcałkowej dla górnej granicy całkowania

7⁷(z)=/(z) dla zeD.

Innymi słowy, funkcja holomorficzna /(z) w obszarze jednospójnym ma w tym obszarze funkcję pierwotną F(z) określoną wzorem (7.4). Stąd i z twierdzenia 2, § 6, wynika

Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja /(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, to całka funkcji f(z) wzdłuż dowolnej drogi leżącej w tym obszarze i łączącej punkty z_x oraz z₂ wyraża się wzorem

^Z\fifi)dz — F(z₂)—F(z_l),

2 i

gdzie F(z) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(z) w obszarze D.

Zadania przykładowe

Zadanie 7.1. Obliczyć całki Fresnela:

00    CC

(1)    Jcosx²dx    oraz J sin x²dx,

o    o

wykorzystując to, że (całka Poissona):

oo

(2)    J    e~^x*dx = ±\/k.

o

Rozwiązanie. W celu obliczenia całki (1) bierzemy pod uwagę funkcję pomocniczą

(3)    /(z) = e*

oraz kontur całkowania C określony    następująco:

(4)    C    = J_l+r+J₂,

gdzie Ji oraz J₂ są promieniami okręgu |z| = R tworzącymi z osią rzeczywistą Ox odpowiednio kąty <Pi = 0 oraz <p₂ = £jr, natomiast F jest łukiem tego okręgu o równaniu (rys. 1.10):    ₁

z = Re",    0<f<i7C.

Ponieważ funkcja /(z) jest holomorficzna w całej płaszczyźnie otwartej, to jest w szczególności holomorficzna wewnątrz konturu C i na tym konturze. Wobec tego w myśl twierdzenia całkowego Cauchy’ego, mamy

(5)    jf(z)dz+ $f(z)dz+ J /(z) dz = 0.

Ji    r    j₂

4 — Wybrane działy matematyki...