chądzyński5

40 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Stąd

(1)    tg Ti (z) = tg T₂{z) dla z £ E.

Z zadania 2.3.3 wynika, że dla każdego z £ E równość (1) zachodzi dokładnie wtedy, gdy T\(z) — T-2(z) £ {im : n £ TĄ. Stąd i z zadania 1 wynika istnienie liczby całkowitej n₀ takiej, że dla każdego z £ E mamy TĄz) — TĄz) — reno.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 10. Niech E C C będzie zbiorem spójnym oraz ±1 £ E. Pokazać, ze jeżeli Ti, T2 są na zbiorze E gałęziami arcusa sinusa, tzn. funkcjami ciągłymi takimi, ze sin Tj (z) = z dla j — 1,2 i z £ E, to albo Ti - T₂, albo T\ + T₂ - tt jest na E stałą wielokrotnością 2tt.

Rozwiązanie. Z definicji gałęzi arcusa sinusa Ti, T2 są fmikcjami ciągłymi oraz

(1)    sin Ti (z) — z i sin T^z) — z dla z £ E.

Stąd

(2)    sin Ti {z) — sinT2(z) dla z £ E.

Połóżmy A {27rn : n 6 TĄ. Z zadania 2.3.4 wynika, że dla. każdego z £ E równość (2) zachodzi dokładnie wtedy, gdy

(3)    Ti{z) - T₂(z) £ A lub Ti(z)+T₂(z) - tt £ A.

Niech /_ = 1] - T₂, f+ = Ti + T₂ - tt. Połóżmy E^ := fZ¹(A) i E₊ : /jT¹(yl). Z (3) mamy E = £L U i?₊. Z (1) i z założenia ±1 ^ -E dostajemy E_ n E₊ — 0. Ponadto zbiory E_, E+ są domknięte w E. Istotnie, ponieważ zbiór A jest domknięty w R i funkcje /_, /₊ : E —> C są ciągłe, to zbiory £L, E₊ są domknięte w E. Reasumując, ze spójności zbioru E dostajemy

EL = E albo E₊ — E.

W pierwszym przypadku z zadania 1 wynika istnienie liczby całkowitej ?■£_. takiej, że Zj(z) — ^(z) = 27rn_ dla każdego z £ E.

Analogicznie w drugim przypadku istnieje liczba całkowita n₊ taka, że 7\ (z) 4- T^z) — 7r = 27rn₊ dla każdego z £ E.

To kończy rozwiązanie.    O

Zadanie 11. Niech K = {z £ C : \z\ < 1}. Pokazać, ze w K:

(a)    istnieje dokładnie jedna gałąź arcusa tangensa przyjmująca w punkcie 0 wartość 0.

(b)    istnieje dokładnie jedna gałąź arcusa sinusa przyjmująca w punkcie 0 wartość 0.

Rozwiązanie, (a). Na mocy zadania 9, jeśli istnieje gałąź arcusa tangensa przyjmująca w punkcie 0 wartość 0, to jest tylko jedna.

Wystarczy pokazać, że istnieje gałąź logarytmu L funkcji / : K 3 z    (l + 2z)/(l ~iz) £ C, taka że L(0) — 0. Istotnie, wówczas funkcja

T — (1/2i)L jest ciągła, T(0) = 0 i na mocy zadania 2.4. 6 T(z) jest wartością arcusa tangensa liczby z dla każdego z £ K. Zatem T jest gałęzią arcusa tangensa przyjmującą w punkcie 0 wartość 0.

Zauważmy, że dla z £ K mamy 1 + iz R_ i 1 — iz £ K_. Stąd funkcje K 3 z ► Log(l + iz) i K 3 z t~> Log(l — iz) są ciągłe i funkcja L określona wzorem L(z) — Log(l + iz) — Log(l — iz) jest żądaną gałęzią logarytmu /.

(b). Na mocy zadania 10, jeśli istnieje gałąź arcusa sinusa przyjmująca w punkcie 0 wartość 0, to jest tylko jedna.

Wystarczy pokazać, że istnieją w kole K : po pierwsze, funkcja P będąca gałęzią potęgi (z² —l)¹/², taka że P(0) = i i po drugie, funkcja L będąca gałęzią logarytmu funkcji / : K 3 z >-*■ i(z — P(z)) £ C, taka że L(0) = 0. Istotnie, wówczas funkcja T — ( l/t)L jest ciągła, T(0) = 0 i na mocy zadania 2.4.2 T(z) jest wartością arcusa sinusa liczby z dla każdego z £ K. Zatem T jest gałęzią arcusa sinusa przyjmującą w punkcie 0 wartość 0.

Pokażemy najpierw istnienie fmikcji P. Dla z £ K mamy 1 - z² ^ M_. Zatem funkcja P : K 3 z h-* iexp(l/2) Log(l — z²) jest gałęzią potęgi (z² — 1)^1/2 taką, że P(0) = i.

Pokażemy teraz istnienie funkcji L. Niech G będzie obszarem, jaki powstaje z płaszczyzny C przez usunięcie punktu 0 i punktów o argumencie głównym 7r/2. W myśl zadania 2, w G istnieje gałąź L funkcji tożsamościowej taka, że L(l) = 0. Rozważmy funkcję K 3 z {z — P{z)). Łatwo sprawdzamy, że

(1)    {z — P(z)){z + P{z)) — 1 dla z£K.

Zauważmy, że f(K) C G. Istotnie, w przeciwnym razie dla pewnego zo £ K, i(z₀ — P(zq)) — it.t > 0. Wtedy z (1) mamy z₀ -f jP(z₀) = 1/t. Stąd 2z₀ — (t P G¹) i |zoj = (1/2)(t + G¹) > 1, co prowadzi do sprzeczności. W myśl powyższego, funkcja L określona wzorem