chądzyński0

30 2. FUNKCJE ZESPOLONE

;>■

taka, żc Log w — (l/n)(Log2 4- 2kri).Zatem w = exp(l/n)(Log 2 4-2km) G z^l/ⁿ.

To kończy rozwiązanie.    □ i’;

Zadanie 9. Niech u,v G M i a G C^x. Pokazać, że wszystkie 4

wartości potęgi a^u+lv są liczbami rzeczywistymi dokładnie wtedy, gdy liczba u Log \a\ + u Arg a jest wielokrotnością tt i 2u G Z.

Rozwiązanic. Ze wzorów (1.12.3) i (1.12.4) otrzymujerriy 1 atwo, że    4

(1) a^u+Mł = {exp[(?z + ń;)(Log |a| 4- i Arg a 4- 2kni)} : k G Z}.    4

Z (1) i z własności I.lLl(g) wynika, że wszystkie wartości potęgi a^,Htv f są liczbami rzeczywistymi dokładnie wtedy, gdy    (

i;

(2)    sin fu Log \a\ 4- u(Arg a 4- 2krj\ = 0 dla każdego k G Z.

Załóżmy, że wszystkie wartości potęgi a^u+w są liczbami rzeczy- f] wis tymi. Wówczas, kładąc w (2) k — 0, dostajemy    :{

(3)    v Log jaj 4- a Arg a = lor dla pewnego lo G Z.

Kładąc zaś w (2) k — 1, dostajemy

(4)    u Log Jaj 4- ti Arg a 4- 2itu —    dla pewnego li G Z.    4

Odejmując stronami (4) i (3), dostajemy 2u = lj — Iq.

4

s:

Odwrotnie, załóżmy, że zachodzi (3) i 2u — l G Z. Wtedy dla | każdego A: G Z mamy    ^:

u Log |a| 4- u Arg a 4- 2knu — (Iq 4- ArZ)7T

co daje (2).

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 10. Niech z G C*. Pokazać₇ że punkty z, dla których | wszystkie wartości potęgi z^z są liczbami rzeczywistymi, leżą na prostych f

postaci {z G C : Re z = o}, gdzie 2c G Z, i na każdej z tych prostych § Zeżt/ nieskończenie wiele punktów z o podanej własności.    |;

4

Rozwiązanie. Połóżmy :r — Re z, ?/ = lnu. Dla każdego z G C^x, na 4 mocy zadania 9, wszystkie wartości potęgi są liczbami rzeczywis- 4 tymi dokładnie wtedy, gdy istnieją k,l G Z takie, że

2x = k i Log \ z\ 4-i Arg 2 = 7d.    J;

......J---* -----~    *    ----------~    ^

wistymi, to 2 leży na prostej A * := {2 G C : 2rr = A:}, gdzie k G Z, |

Wynika stąd, że jeśli wszystkie wartości potęgi 2^Z są liczbami rzeczy- g

i odwrotnie, jeśli z = x 4- iy leży na prostej A*, oraz istnieje l E Z takie, że y Log\{k/2) + iy\ + (k/2) Arg[(fc/2) + iy] = Irr, to wszystkie wartości potęgi z² są liczbami rzeczywistymi.

Niech dalej f_k : (1, oo) —» R będzie funkcją określoną wzorem

fk{y) = S/Log |(fc/2) + iy\ + (k/2) Arg[(fc/2) + iy] i niech A := {Itt : l E Z}.

Pokażemy teraz, że na każdej prostej A& leży nieskończenie wiele punktów z = (k/2)+iy takich, że fk{y) € A. Istotnie, łatwo zauważyć, że dla każdego k e Z funkcja f_k jest ciągła i ,fk(y) —+ -boo, gdy ■y —> -|-oo. Zatem na mocy własności Darbomc, funkcja f_k przyjmuje wszystkie wartości z przedziału (/^(l), oo). W konsekwencji dla każdej liczby całkowitej l > N — /*.(l)/7r istnieje liczba a_ki E (1, oo) taka, że fk(dki) — ni- Reasumując, istnieje zbiór przeliczalny A_k :== {a_w : l E Z, l > N} taki, że dla każdego y E Ak mamy f_k(y) E A.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 11. Pokazać, ze. wszystkie wartości potęgi a A a E C* mają ten sam moduł dokładnie wtedy, gdy Imc = O- Jeśli Imc ^ O, to potęga a^c ma nieskończenie wiele wartości, wszystkie te wartości mają różne moduły i kresem dolnym zbioru modułów tych wartości jest O, a kresem górnym 4-co.

Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że wprowadzona na C funkcja exp (patrz § 1.11) pokrywa się na R ze znaną z analizy rzeczywistej funkcją. exp. Stąd funkcja exp |r jest rosnąca, w szczególności równowartościowa i

(1)    lim^-oofeKp |k)(x) = O i lim_x__oc(exp |k)(^) = oo.

Powróćmy do potęgi a^c. Ze wzorów (1.12.3) i (1.12.4) otrzymujemy, żc

a^c — {expc(Loga + 2kni): k E Z}.

Połóżmy dalej z_k — expc(Loga + 2 kr i) dla k E Z i u = Rec, v — Imc. Wówczas z własności T.ll.l(g) dla dowolnego k mamy

(2)    \z_k\ = exp[?2 Log |a| — u (Arg a -f 2/c7t)].

Jeśli wszystkie wartości potęgi a^c mają ten sam moduł, to \zq\ = \zi\. Stąd, z (2) i z różnowartościowości fmikcji exp |_R dostajemy ^v = 0. Odwrotnie, jeśli v = O, to z (2) \z_k\ = expwLog|a| dla każdego k. Stąd wszystkie wartości potęgi ai mają ten sam moduł.