chądzyński
5

20 2. FUNKCJE ZESPOLONE

20 2. FUNKCJE ZESPOLONE

l|exp**l ~ lexp(-żz)H

= [tgh. y\ > t.gh 1.

j expiz| + | exp(—iz)\ exp(-y) - exp2/ _ ,

exp (-y) + exp y

Stąd i z oczywistej nierówności sinh 1 > tgh 1 > 0 dostajemy

(1)    |1 / sin z\ < 1/ tgh 1, | ctg z\ < 1/ tgh 1 dla jlmz|>l.

Niech teraz E\ — {z 6 C : [ Imzj < 1}\ \J_ncZ{^z € ^ ^: I*—n7r| < e). Pokażemy, że istnieje stała C\ > 0 taka, że

(2)    jl/sin z\ < C_x, |ctgz| < Ci dla. każdego z € E_x.

Istotnie, dla z € Ei mamy } 1 / sin(z -f rar)j = 11/ sin z| i |ctg(z + nr)| = |etgz[. Zatem (2) wystarczy pokazać dla z 6 Ei f] {z £ C : | Re z| < 7t/2} =: H_x. W zbiorze zwartym H\ funkcje |l/sin| i j ctg | są ciągle, istnieje więc stała C_x > 0 taka, że J1 / sinzj < Ci, 1 ctgz\ < C\ dla. każdego z 6 H\.

Połóżmy C — min (Ci, 1/ tgh 1). Wówczas z (1) i (2) dostajemy nierówność (*) w zbiorze E.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 6. Niech dane będzie równanie

w którym ostatnim wyrazem jest nz^Tl~^l dla n parzystego albo żⁿ dla n nieparzystego. Pokazać, ze zera tego równania dane są wzorem ±i tg(kn/n), k — 0,1,...,/ — 1, gdzie l — nj 2 dla n parzystego i l — (n-{- 1 )/2 dla n nieparzystego.

Rozwiązanie. Oznaczmy lewą stronę równania (a) przez /(z). Łatwo zauważyć, stosując wzór dwumianowy Newtona, że

(O

/W = (1/2) [O + *)"-(!-z)"].

Z (1) wynika, że równanie (a) można zastąpić równaniem równoważnym

Liczba —1 nie jest zerem równania (2), zatem można zastąpić je równaniem równoważnym

Z (3) wyliczamy łatwo, że wszystkie zera tego równania dane są wzorem

1 — £

(4)    z — -- — -, gdzie eⁿ = 1 i e ^ —1.

Pierwiastki stopnia n z 1 wyrażają się wzorami

(5)    e_k = exp(2L‘7rż/n), k — 0,..n — 1.

Z własności 1.11.1 (e) i z (5) e_k — — 1 dokładnie wtedy, gdy

(6)    2kir/n — tt + 2ln dla pcwmego l € Z.

Dla A: G {O,.... ti — 1} mamy 0 < 2kix jn < 2?r. Stąd i z (6) dostajemy

(7)    (e_k = -1)    (2k/n = 1).

mamy

Zauważmy teraz, że dla ( — exp iip    — 1

(8)

¹ ~ <    •. <P

TTc ⁼ " ^g2'

Istotnie,

1 —C    exp(itp/2) — exp(—i<p/2)    is\iup/2    . tp

1-f £    exp(?9?/2) 4- exp(—i<pj2)    cosip/2    ^% ^ 2

Z (4), (5), (7) i (8) wynika, że wszystkie zera równania (3) dane są wzorami

(9)    z_k — —i tg —, k — 0,..., n — 1 i k =/=■ nj2.

n

Równania (*) i (3) są równoważne, zatem również wszystkie zera równania (*) dane są wzorami (9). Dla n parzystego z (9) dostajemy

nk

z_k — -i tg -—, k = 0_____ n — 1 i k ^ ni2.

n

Stąd dla n

parzystego wszystkie zera równania (*) dane są wzorami