chądzyński2

118 6. FUNKCJE REGULARNE

^R t exp iat

~^W^dt

[ f{z)dz — [ f(t)dt= [

J[-R,R]    J-R    J-

f^R t cos at .    . f^R t si

⁼ J-_RWT&^{dt + l}J-_R^

= 2 i [

Jo

t sin at

t² + b²

sin at

dt

(6)

f    ,    f⁺°° t sin at ,

lim / f{z)dz = 2i +2 >Ja^dt'

S^+oo    Jo t + 0

Ponadto z zadania 1 mamy

(7)

..    / zexpiaz

*™°°Jc_K~²~+V~

dz = 0.

Przechodząc w (5) do granicy przy R —► +00 i korzystając z (4), (6) i (7), dostajemy

^H 00 t sin at

f

7T

^ + ^^<=2^exp(-ai)-

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 6. Obliczyć całkę

L

+00

sin atdt

t(t² + 6²)’

gdzie, a > 0, b > 0.

Rozwiązanie. Funkcja p określona wzorem ę(z) = (exp i«z — 1)/z jest holomorficzna w C^x i, na mocy zadania 5.1.1, rozwija się tam w szereg potęgowy

00

&) = E

n=0

(n +1)!"

Jeśli położymy g(0) = ia, to tak rozszerzona funkcja, na mocy lematu 1.32.1, jest holomorficzna w C, czyli całkowita. Stąd wynika, że funkcje Re.9|a i Imtfk są ciągłe.

Rozważmy w C funkcję / określoną, wzorem

w    f & =

!Iest to funkcja meroinorficzna w C. Ma ona jedynie dwa bieguny jednokrotne w punktach Z\ = ib, z% — —ib. Obliczmy residuum funkcji f w punkcie z_}. W myśl zadania 6.3.4 marny

(2) res_Zl / -

9(z)

2z

(3)

exp(—ab) — 1 1    1 — exp(—ab)

— ⁼    2&

ib    2 ib

Niech dalej liczba R będzie większa od b. Wówczas mamy

dla k = 1,

z-^ib

dla k — 2.

; Z (1), (2) i (3) na mocy twierdzenia o residuach dla dowolnego R > b dostajemy

(4)

f f(z)dz =

l-exp(—ab) ^2m..... 26²-----

Z drugiej strony, marny (5)    f f{z)dz =

f(z)dz.

f(z)dz 4-

Obliczmy granicę pierwszej całki po prawej stronie (5) przy R -hoo. Mamy

'^R exp iat - 1

'Cr

l

d[-R,R] cos at — 1

R W² + &²)

f{z)dz —

fjm=l

i

sin at

r t{t² + b²)

dt = 2 i

f

'dt =

sin at

t(t² + b²)

dt.

Stąd

(6)    lim f

J[-

Ponadto z zadania 1 marny

(7)    lim f

R—+oo J_c

-R,R]

... . ,    [⁺°° sin at

j(z)dz = 21    dt.

Ja

t(t² + 6²)

exp iaz

c, *4² + 4)

-dz =

f expiaz

hm /    ----

dc

lim

dz

⁰⁰ Jc_R ^z(z² + &²) R-+oo J_c z (z² 4- b²)

= 0.